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微积分

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微积分

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极限

ε−δ\varepsilon-\delta表达式（捋下符号）

  • 这里的符号ε\varepsilon用于表示一个极小的数（不论有多小），而MM用于表示一个极大的数（不论有多大）

  • 而N、δ、XN、\delta、X都是用来表示x的位置，符号不同仅仅是为了区分这些位置的范围（很操蛋，还不如都用相同的符号来表示）

    • NN是非常大的正整数，ε\varepsilon越小NN对应的位置就越大
    • δ\delta是非常接近于x0x_0的有限实数，ε\varepsilon越小δ\delta对应的位置就越接近x0x_0
    • XX是非常大的正实数，ε\varepsilon越小的XX对应的|x|的位置就越大

收敛数列性质

  • 收敛数列【定理1】极限的唯一性：数列收敛，则极限唯一
  • 收敛数列【定理2】收敛数列有界性：数列收敛，则数列有界（反之不行）
  • 收敛数列【定理3】收敛数列（局部）保号性：数列收敛，且极限>0（或<0），则∃N，当n>N时，都有xn>0（或<0）\exist N，当n>N时，都有x_n>0（或<0）
  • 收敛数列【定理4】收敛数列与其子数列间关系：数列收敛于a，则其任一子数列也收敛于a（发散数列可能有收敛子数列）

函数极限性质

  • 函数极限【定理1】函数极限的唯一性：极限存在，则该极限唯一极限存在，则该极限唯一

  • 函数极限【定理2】函数极限的局部有界性：极限存在，则存在常数M和δ>0，当0<∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)∣≤M极限存在，则存在常数M和\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)|\leq M

  • 函数极限【定理3】函数极限的局部保号性：极限存在，且极限>0（或<0），则∃常数δ>0，当0<∣x−x0∣<δ时，有f(x)>0（或<0）极限存在，且极限>0（或<0），则\exist常数\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有f(x)>0（或<0）

  • 函数极限【定理3变形】：如果limx→x0f(x)=A(A≠0)，那么就存在着x0的某一去心邻域Uo(x0)，当x∈Uo(x0)时，就有∣f(x)∣>∣A∣2如果lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A(A\neq0)，那么就存在着x_0的某一去心邻域\overset oU(x_0)，当x\in \overset oU(x_0)时，就有|f(x)|>\frac{|A|}2

  • 函数极限【定理3推论】：如果在x0的某去心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而且lim⁡x→x0f(x)=A，那么A≥0（或A≤0）如果在x_0的某去心邻域内f(x)\geq0（或f(x)\leq0），而且\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，那么A\geq0（或A\leq0）

  • 函数极限【定理4】函数极限与数列极限的关系：limx→x0f(x)极限存在，{xn}为函数定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0(n∈N+).那么相应的数值数列{f(xn)}必收敛，且limx→∞f(xn)=limx→x0f(x)lim_{x\rightarrow x_0}f(x)极限存在，\{x_n\}为函数定义域内任一收敛于x_0的数列，且满足x_n\neq x_0(n\in N_+).\\ 那么相应的数值数列\{f(x_n)\}必收敛，且lim_{x\rightarrow\infty}f(x_n)=lim_{x\rightarrow x_0}f(x)

比较总结：数列极限、函数极限

  • 数列极限和函数极限区别和共同点
    • 表面区别是一个连续一个不连续
    • 根本区别是函数的极限多一种情形（自变量趋于某有限值时），而数列的极限只能无穷远处

极限存在准则

  • 极限存在【准则1】夹逼准则（数列）：如果数列{xn},{yn}及{zn}满足下列条件：（1）从某项起，即∃n0∈N+，当n>n0时，有yn≤xn≤zn（2）lim⁡n→∞yn=a,lim⁡n→∞zn=a那么数列{xn}的极限存在，且lim⁡n→∞xn=a如果数列\{x_n\},\{y_n\}及\{z_n\}满足下列条件：\\ （1）从某项起，即\exist n_0\in N_+，当n>n_0时，有y_n\leq x_n\leq z_n\\ （2）\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=a,\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=a\\ 那么数列\{x_n\}的极限存在，且\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a

  • 极限存在【准则1变形】夹逼准则（函数）：如果（1）当x∈Uo(x0,r)（或∣x∣>M）时，g(x)≤f(x)≤h(x)      （2）lim⁡x→x0（或∞）g(x)=A，lim⁡x→x0（或∞）h(x)=A那么lim⁡x→x0（或∞）f(x)存在，且等于A如果（1）当x\in \overset oU(x_0,r)（或|x|>M）时，g(x)\leq f(x)\leq h(x)\\ ~ ~ ~ ~ ~ ~（2）\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}g(x)=A，\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}h(x)=A\\ 那么\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}f(x)存在，且等于A

  • 极限存在【准则2】单调有界（数列）：单调有界数列必有极限

    ^（【单调有界】是数列收敛的充分条件，其中有界是必要条件）

  • 极限存在【准则2变形】单调有界（函数）：如果数列设函数f(x)在点x0的某个左领域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限f(x0−)必定存在如果数列设函数f(x)在点x_0的某个左领域内单调并且有界，则f(x)在x_0的左极限f(x_0^-)必定存在

  • 极限存在【柯西（Cauchy）极限存在准则】别名柯西审敛原理：数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的整数ε，存在正整数N，使得当m>N,n>N时，有∣xn−xm∣<ε数列\{x_n\}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的整数\varepsilon，存在正整数N，\\ 使得当m>N,n>N时，有|x_n-x_m|<\varepsilon

    ==^（【柯西审敛】则是数列收敛的充分必要条件）==和“数列极限的定义”很像，主要区别在于描述中没有“A”，审敛不关心极限为几