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高中数学

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高中数学

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高中

三角函数

同角公式

sin⁡2α+cos⁡2α=1sin⁡αcos⁡α=tan⁡αtan⁡α⋅cotα=1记法：【不记】根据定义 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\\ \tan\alpha\cdot cot\alpha=1 \\\quad\\ 记法：【不记】根据定义

诱导公式（同三角函数）

角度(kϵZ)角度(k\epsilon Z)sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
2kπ+α2k\pi+\alphasin⁡(2kπ+α)=sin⁡α\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alphacos⁡(2kπ+α)=cos⁡α\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alphatan⁡(2kπ+α)=tan⁡α\tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha
2kπ+π+α2k\pi+\pi+\alphasin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alphacos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alphatan⁡(π+α)=−tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=-\tan\alpha
−α-\alphasin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha)=\sin\alphacos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alphatan⁡(−α)=tan⁡α\tan(-\alpha)=\tan\alpha
π−α\pi-\alphasin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alphacos⁡(π−α)=cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=\cos\alphatan⁡(π−α)=tan⁡α\tan(\pi-\alpha)=\tan\alpha

诱导公式（三角函数互换）

sin⁡(π2−α)=cos⁡α,cos⁡(π2−α)=sin⁡αsin⁡(π2+α)=cos⁡α,cos⁡(π2+α)=−sin⁡α记法：【不记】单位圆现推 \begin{aligned} &\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha,&\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\\ &\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha,&\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha \end{aligned} \\\quad\\ 记法：【不记】单位圆现推

和差角公式

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β记法：【不记】sin⁡(α−β)和cos⁡(α−β)的几何意义：(cos⁡α,sin⁡α)和(cos⁡β,sin⁡β)的叉积和点积但这个推导不快使用频高，最好。sin⁡:sccs不变号，cos⁡:ccss变号，tan⁡:上和下积上同下变 \begin{align} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha \cos\beta\mp \sin\alpha \sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta} \end{align} \\\quad\\ 记法：\\ 【不记】\sin(\alpha-\beta)和\cos(\alpha-\beta)的几何意义：(\cos\alpha,\sin\alpha)和(\cos\beta,\sin\beta)的叉积和点积\\ 但这个推导不快使用频高，最好。\sin:sccs不变号，\cos:ccss变号，\tan:上和下积上同下变

和差化积、积化和差公式（同名异角和差、异角积）

和差化积

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2记法：帅+帅=帅哥sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2记法：帅−帅=哥帅cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2记法：哥+哥=哥哥cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2记法：哥−哥=负嫂嫂记法：【不记】：用和差公式可以现推。但是记忆可以提高使用速度口诀记法：见上右注，没有用±和∓将其合并成两条是为了便于记忆精简记法：根据(−α)的诱导公式，可以把减法变成加法，只用记第1、3条其他：非高中必背内容，但压轴题能用、竞赛题常用 \begin{align} \sin\alpha+\sin\beta=&2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\quad&&记法：帅+帅=帅哥\\ \sin\alpha-\sin\beta=&2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\quad&&记法：帅-帅=哥帅\\ \cos\alpha+\cos\beta=&2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\quad&&记法：哥+哥=哥哥\\ \cos\alpha-\cos\beta=&-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\quad&&记法：哥-哥=负嫂嫂 \end{align} \\\quad\\ 记法：\\ \begin{aligned} 【不记】：&用和差公式可以现推。但是记忆可以提高使用速度\\ 口诀记法：&见上右注，没有用\pm和\mp将其合并成两条是为了便于记忆\\ 精简记法：&根据(-\alpha)的诱导公式，可以把减法变成加法，只用记第1、3条\\ 其他：&非高中必背内容，但压轴题能用、竞赛题常用 \end{aligned}

积化和差

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]记法：【不记】若记忆，同和差化积公式：口诀反过来、也只用记两条，非高中必备内容、竞赛题常用 \begin{align} &\sin\alpha \cos\beta=&&\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\ &\cos\alpha \sin\beta=&&\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\ &\cos\alpha \cos\beta=&&\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\ &\sin\alpha \sin\beta=&-&\frac12[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \end{align} \\\quad\\ 记法：【不记】若记忆，同和差化积公式：口诀反过来、也只用记两条，非高中必备内容、竞赛题常用

辅助角公式（异名同角和差）

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+arctan⁡ba)，（a>0）asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2cos⁡(x−arctan⁡ba)，（b>0） a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac ba)，（a>0）\\ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\arctan\frac ba)，（b>0）

二倍角公式（和差角公式推得）

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2αtan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α记法：【不记】和差角公式可推得。若记忆则死记，cos⁡2α后两条可以根据同角公式现推 \begin{align} \sin2\alpha&=2\sin\alpha \cos\alpha\\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align} \\\quad\\ 记法：【不记】和差角公式可推得。若记忆则死记，\cos2\alpha后两条可以根据同角公式现推

三倍角公式（和差角公式推得）

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3αcos⁡3α=−3cos⁡α+4cos⁡3αtan⁡3α=3tan⁡α−tan⁡3α1−3tan⁡2α=tan⁡αtan⁡(π3+α)tan⁡(π3−α)cot3α=−3cotα+cot3α3cot2α−1记法：【不记】和差角公式可推得。非高中必背内容 \begin{align} \sin3\alpha&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\ \cos3\alpha&=-3\cos\alpha+4\cos^3\alpha\\ \tan3\alpha&=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}=\tan\alpha \tan(\frac\pi 3+\alpha)\tan(\frac\pi 3-\alpha)\\ cot3\alpha&=\frac{-3cot\alpha+cot^3\alpha}{3cot^2\alpha-1} \end{align} \\\quad\\ 记法：【不记】和差角公式可推得。非高中必背内容

半角公式

sin⁡α2=±1−cos⁡α2cos⁡α2=±1+cos⁡α2tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α=±1−cos⁡α1+cos⁡α记法：非高中必背内容，但背了有好处 \begin{align} \sin\frac\alpha 2&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}\\ \cos\frac\alpha 2&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}\\ \tan\frac\alpha 2&=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} \end{align} \\\quad\\ 记法：非高中必背内容，但背了有好处

三角公式

因abc中的a和αβγ中的α相似，本节中使用ABC作为三角形的三个角 因abc中的a和\alpha\beta\gamma中的\alpha相似，本节中使用ABC作为三角形的三个角

正弦、余弦定理（第三边公式）

正弦定理：（求第三边）c2=a2+b2(C=π/2)余弦定理：（求第三边）c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡C余弦定理变形：（求合力线）x2=a2+b2+2ab⋅cos⁡C \begin{align} 正弦定理：&（求第三边）c^2=a^2+b^2(C=\pi/2)\\ 余弦定理：&（求第三边）c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos C\\ 余弦定理变形：&（求合力线）x^2=a^2+b^2+2ab\cdot \cos C \end{align}

圆锥

函数

概率与统计