《朗道 一》力学

目录

运动方程

广义坐标

概念

• 导数表述：对时间的导数用符号上面加点表示，如$v=\dot r，a=\ddot r$
• 系统的自由度：唯一地确定系统位置所需独立变量的树木称为系统的自由度
• 系统的广义坐标：对于s个自由度的系统，可以完全刻画其位置的任意s个变量$q_1,q_2,\cdots,q_s$，用$q$表示所有广义坐标
• 系统的广义速度：广义坐标的导数$\dot q_i$
• 运动方程：加速度与坐标、速度的关系式（力学状态完全由坐标和速度确定）

最小作用量原理

概念

• 力学系统规律原理：最小作用量原理（或者哈密顿原理）

• 拉格朗日函数：$L(q,\dot q,t)=L(q_1,q_2,\cdots,q_s,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_s,t)$

• 作用量积分：$S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)dt$，有最小值

• 拉格朗日方程（运动微分方程）：

  $$\frac d{dt}\frac{\partial L}{\part\dot q_i}-\frac{\partial L}{\part\dot q_i}=0~~~（i=1,2,\cdots,s）$$

最小作用量原理

• 产生于对最速降线的探究，$t=\frac1{\sqrt{2g}}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{\frac{1+y'~^2}{y}}dx$
• 可写成$t=S=\int_{x_1}^{x_2}L(y)dx$

（注：拉格朗日乘数法中的构造拉格朗日函数、和此处力学分析的拉格朗日函数，并非同一种东西）

伽利略相对性原理

自由质点的拉格朗日函数

质点系的拉格朗日函数

守恒定律

能量

动量

质心

角动量

力学相似性

运动方程的积分

一维运动

根据振动周期确定势能

约化质量

有心力场内的运动

开普勒问题

质点碰撞

质点分裂

质点弹性碰撞

质点散射

卢瑟福公式

小角度散射

微振动

一维自由振动

强迫振动

多自由度系统振动

分子振动

阻尼振动

有摩擦的强迫振动

参变共振

非间谐振动

非线性振动中的共振

快速振动场中的运动

刚体的运动

角速度

惯量张量

刚体的角动量

刚体运动方程

欧拉角

欧拉方程

非对称陀螺

刚体的接触

非惯性参考系中的运动

正则方程

哈密顿方程

罗斯函数

泊松括号

作为坐标函数的作用量

莫培督原理

正则变换

刘维尔定理

哈密顿-雅可比方程

分离变量

浸渐不变量

正则变量

浸渐不变量守恒的准确度

条件周期运动