有阻力的落体运动

Q：（一个科普视频常见的问题）为什么一滴水从万米高空落下却不会砸死人

A：雨滴终端速度小

Prove：

空气阻力

$$F=\frac12 C\rho SV^2\\ 空气阻力=\frac12 空气阻力系数\times 空气密度\times 空气迎风面积\times 物体与空气的相对运动速度^2$$

重力

$$G=mg$$

终端速度计算

$$mg=\frac12 C\rho SV^2\\ V^2=\frac{2mg}{C\rho S}=\mathbf{C}_常\frac{m}{S}\\~\\~\\ 当为球形：\\ V^2=\mathbf{C}_常\frac{r^3\rho_物}{r^2}=\mathbf{C}_常(r\rho_物)\\ 动量I=mv=\mathbf{C}_常 \rho_物^{\frac 12} r^{\frac 72}$$

Q.E.D.

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Q：是不是只要物体足够轻就砸不死人？（形状为球）

A：只要我的半径足够小，终端速度就会足够大，动量也会足够大

Prove：这次结果我们保留m和r，去除密度

$$m=\frac43\rho_物r^3\\ \rho_物=\frac{3m}{4r^3}\\~\\ 当为球形：\\ V^2=\mathbf{C}_常\frac{r^3\rho_物}{r^2}=\mathbf{C}_常(r\rho_物)=\mathbf{C}_常(\frac{3m}{4r^2})\\ 动量I=mv=\mathbf{C}_常(\frac{\sqrt3 m^{\frac 32}}{2r})$$

Q.E.D.