微积分

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无穷

概念、性质、定理

无穷小性质

• 无穷小【定理1】$在自变量的同一变化过程x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha，其中\alpha是无穷小$

无穷大性质

• 无穷大【定理1】$在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则\frac1{f(x)}为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)\neq0，则\frac1{f(x)}为无穷大$

等价无穷小定理

• 等价无穷小【 定理1】$\beta与\alpha是等价无穷小的充分必要条件为\beta=\alpha+o(\alpha)$

• 等价无穷小【定理2】$设\alpha\sim\tilde\alpha，\beta\sim\tilde\beta，且\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}存在， 则\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}\\（说人话：求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可用等价无穷小来代替）$

  等价无穷小【个人补充】：根据定理1的证明可补充极限运算定理1：$有限个无穷小的和是无穷小（原定理）\\ 大于零等价无穷小的差为高阶无穷小（补充）\\ 非等价同阶无穷小的差为同阶无穷小（补充）$

等价无穷小

• 等价无穷小（自增，常用，要背）：自己往上面翻去或点击跳转

极限运算法则定理

• **极限运算【定理1】**两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和也是无穷小

• **极限运算【定理2】**有界函数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论1】**常数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论2】**有限个无穷小的乘积是无穷小

• 极限运算【定理3】$如果\lim f(x)=A，\lim g(x)=B，那么\\ （1）\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B\\ （2）\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B\\ （3）\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac AB（其中B\neq0）$

• 极限运算【定理3推论1】$如果\lim(x)存在，而c为常数，那么\lim[cf(x)]=c\lim f(x)$

• 极限运算【定理3推论2】$如果\lim(x)存在，而n是正整数，那么\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$

• 极限运算【定理4】$设有数列\{x_n\}和\{y_n\}.如果\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A、\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=B，那么\\ （1）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B\\ （2）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B\\ （3）\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB（其中y_n\neq0(n=1,2,\cdots)且B\neq0）$

• 极限运算【定理5】$如果\varphi(x)\geq\psi(x)，而\lim\varphi(x)=A，\lim\psi(x)=B，那么A\geq B$

• 极限运算【定理6】复合函数的极限运算法则：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x_0的某去心邻域内有定义.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A，且存在\delta_0>0，当x\in\overset oU(x_0,\delta_0)时，有g(x)\neq u_0，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A$

等价无穷小（自增，常用，要背）

（该自增章节乃吾呕心沥血之记，都自己画的图）

$这里的几阶无穷小是指是f(x)=x在x\rightarrow 0时，关于\lim_{x\rightarrow 0}f(x)的几阶无穷小$

（特殊）$0^\infty$

（特殊，另记）

$（x+1）^\frac1x \sim e$

典型的$0^\infty$，用对指法+洛必达也可以得到相同的结果

一阶

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）：$\sin x\sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim e^x-1 \sim\ln(1+x)\sim x $

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）放缩顺序：$右极限：{\color{green}e^x-1}> {\color{blue}\tan x}> {\color{Red}\arcsin x}> x> {\color{Red}\sin x}> {\color{blue}\arctan x}> {\color{green}\ln(1+x)}\gg 0\\ 左极限：{\color{magenta}\ln(1+x)}< {\color{blue}\tan x}< {\color{Red}\arcsin x}< x< {\color{Red}\sin x}< {\color{blue}\arctan x}< {\color{magenta}e^x-1}\ll 0$

^（图记、图像理解）

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）凹凸函数性质补充：$凸函数：~2\sin \frac x2>\sin x，~2\arctan\frac x2>\arctan x，~2\ln(1+\frac x2)>\ln(1+x)\\ 凹函数：~2\tan\frac x2<\tan x，~2\arcsin\frac x2<\arcsin x，~2(e^\frac e2-1)<e^x-1$

^（不记、自行画图理解）这个是个人补充的，书上当前章节没有也几乎不用，可忽略

【一阶等价无穷小】（一阶导为k）：$\begin{aligned} e^x-1&\sim x\\ a^x-1&\sim x\ln x\\~\\ (x+1)^n-1 &\sim nx\\ \sqrt[n]{x+1}-1&\sim \frac{1}{n}x（不记） \end{aligned}$

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）的图像理解、与表示意义

• 几何意义：单位圆夹逼
• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶导数相等（1或n）、二阶导数不相等
• 误差：关于$x$的高阶无穷小（$o(x)$）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

（注：函数图中，$e^x-1$和$\ln(1+x)$不以$f(x)=-x$对称）

二阶

【二阶无穷小】：$1-\cos x\sim\sec x-1\sim x-In(1+x)\sim e^x-1-x\sim \frac12 x^2$

【二阶无穷小】缩放顺序：$右极限：{\color{green}e^x-1-x}>\sec x-1>\frac{x^2}2>1-\cos x>{\color{green}x-\ln(1+x)}\gg0\\ 左极限：{\color{magenta}x-\ln(1+x)}>\sec x-1>\frac{x^2}2>1-\cos x>{\color{magenta}e^x-1-x}\gg0$

^（图记、两侧可用一阶无穷小的函数图像理解）

【二阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶、二阶导数分别相等（1或n）、三阶导数不相等
• 误差：关于$x^2$的高阶无穷小（$o(x^2)$）
• 组合意义：有两个是由一阶无穷小相减得来的，可以用一阶无穷小的函数图像来记。如：上面缩放顺序中的绿色或洋红字体 （补充：等价无穷小的的差为高阶无穷小）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

（注：函数图中，$\sec(x)-1$与$e^x-1-x$在$x>0$处有相交，接近零点处前者更小）

三阶

【三阶无穷小】：两组同阶不等价无穷小：\begin{align} \tan x-x\sim\frac13&x^3\sim x-\arctan x\\ \arcsin x-x\sim\frac16&x^3\sim x-\sin x\\ x\cdot \frac12x^2=\frac{1}{2}&x^3\sim\sin x(\sec x-1)=\tan x-\sin x \end{align}

【三阶无穷小】缩放顺序：$左极限：{\color{blue}\tan x-x}>\frac{x^3}3>{\color{blue}x-\arctan x}\gg{\color{red}\arcsin x-x}>\frac{x^3}6>{\color{red}x-\sin x}\gg0\\ 右极限：{\color{blue}\tan x-x}<\frac{x^3}3<{\color{blue}x-\arctan x}\ll{\color{red}\arcsin x-x}<\frac{x^3}6<{\color{red}x-\sin x}\ll0（相反，图像均中心对称）$

^（图记、可用一阶无穷小的函数图像理解）

【三阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶、二阶、三阶导数分别相等（1或n）、四阶导数不相等
• 误差：关于$x^3$的高阶无穷小（$o(x^3)$）
• 组合意义：有四是由一阶无穷小相减得来的，如：上面缩放顺序中的蓝色和红色字体 （补充：等价无穷小的的差为高阶无穷小）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

n阶（/ 题型）

【三阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶~n阶导数分别相等（1或n）、$n+1$阶导数不相等
• 误差：关于$x^n$的高阶无穷小（$o(x^n)$）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

【n阶无穷小】

$(1+ax^b)^c-1\sim c\cdot ax^b$，$方法：利用x\sim\ln(1+x)来回变换\\ \begin{aligned} 通解：(1+ax^b)^c-1&\sim\ln(1+(1+ax^b)^c-1)\\ &=c\cdot\ln((1+ax^b))\\ &\sim c\cdot ax^b \end{aligned}\\ 举例：(1+x^2)^\frac 13-1\sim\frac13x^2$

$(1+ax^b)^c-1\sim c\cdot ax^b$，$方法2：指数对数法，并使用e^-1\sim x\sim\ln(1+x)两个等价无穷小公式\\ \begin{aligned} 通解：(1+ax^b)^c-1&=e^{c\ln(1+ax^b)}-1\\ &\sim c\cdot\ln(1+ax^b)\\ &\sim c\cdot ax^b \end{aligned}$

无限阶（自增）

个人觉得：0满足无穷阶无穷小的条件，存在或比无穷阶无穷小还小

其误差：关于$x^\infty的高阶无穷小$，即误差为真正的0