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数学建模

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数学建模

目录

灰色系统理论

灰色系统分析方法简概

  • 灰色模型核心解决
    • 解决相关性问题与预测、评价类问题
  • 预测常用的几种模型
    • 微分方程模型
    • 灰色预测模型
    • 差分方程模型
    • 马可夫预测
    • 实现距xx（没听清是什么）
    • 差距拟合
    • 神经元网络

灰色预测概念

  • 历史

    • 1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生
    • 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展
    • 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索网站已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

  • 应用范畴

    • 灰色关联分析
    • 灰色预测：人口预测；灾变预测......等等
    • 灰色决策
    • 灰色预测控制
    • 总结：灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具

  • 建模应用

    • 其他：今年（2021）很有可能出新冠肺炎的题，如果出了也可以用这个

    • 例题

      • CUMCM2003A：SARS的传播问题
      • CUMCM2005A：长江水质的评价和预测
      • CUMCM2006A：出版社的资源配置
      • CUMCM2006B：艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题
      • CUMCM2007A：中国人口增长预测

    • 其中CUMCM2003A例题详细描述

      SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）

      是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

      请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下:

      1. 对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
      2. 建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
      3. 收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

  • 灰色系统、白色系统、黑色系统

    • 白色系统：是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的（说“白”了）
    • 黑色系统：是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究（“黑”箱测试）
    • 灰色系统：是指一个系统的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系

灰色预测法

  • 灰色预测法

    • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法

    • 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测

    • 原理

      灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况

  • 四种常见类型

    • 灰色时间序列预测

      即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间

    • 畸变预测

      即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现在特定时区内

    • 系统预测

      通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化

    • 拓扑预测

      将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点

灰色生成数列

灰色关联度分析

  • 因素分析

    • 回归分析等方法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分析。
    • 灰色关联度一定是分析向量与向量之间以及矩阵与矩阵之间的关联度。既然计算关联度，一定是计算某一个待比较的数列与参照物（参考数列）之间的相关程度。

  • 灰色关联度

    • 选取参考数列

      X0={X1(k)∣k=1,2,⋯ ,n}=(X0(1),X0(2),⋯ ,X0(n))X_0=\{X_1(k)|k=1,2,\cdots,n\}=(X_0(1),X_0(2),\cdots,X_0(n))，其中k表示时刻

    • 假设有m个比较数列

      Xi={Xi(k)∣k=1,2,⋯ ,n}=(Xi(1),Xi(2),⋯ ,Xi(n))   （i=1,2,⋯ ,m）X_i=\{X_i(k)|k=1,2,\cdots,n\}=(X_i(1),X_i(2),\cdots,X_i(n))~~~（i=1,2,\cdots,m）

    • 则称

      ξi(k)=min⁡imin⁡k∣X0(k)−Xi(k)∣+ρmax⁡imax⁡k∣X0(k)−Xi(k)∣∣X0(k)−Xi(k)∣+ρmax⁡imax⁡k∣X0(k)−Xi(k)∣ \xi_i(k)=\frac{\min_i\min_k|X_0(k)-X_i(k)|+\rho\max_i\max_k|X_0(k)-X_i(k)|} {|X_0(k)-X_i(k)|+\rho\max_i\max_k|X_0(k)-X_i(k)|}

    • 为比较000000000000

灰色模型GM

灰色预测实例

灰色关联分析模型

灰色预测模型

基本原理及其编程实现