数学

目录

矢量

概念

概念

• 矢量通常由一个箭头来表示，矢量的头（head）是箭头所在的端点，尾（tail）是另一个端点
• 零矢量

用途

• 通常被用于表示相对于某个点的偏移（displacement）

运算定义

矢量和标量乘法/除法

乘法

$$kv=vk=(kv_x,kv_y,kv_z)$$

除法

$$\frac vk = \frac{(x,y,z)}k=\frac 1k(x,y,z)=(\frac xk,\frac yk,\frac zk),~k\neq0$$

$$\frac kv无意义$$

几何意义

• 方向不变，模进行乘除法

矢量的加法和减法

加法

$$a+b=(a_x+b_x,a_y+b_y,z_z+b_z)$$

减法

$$a-b=(a_x-b_x,y_y-b_y,a_z-b_z)$$

几何意义

• 三角形定则（triangle rule）

矢量的模

取模

$$|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$

几何意义

• 取矢量的模（长度）

单位矢量（unit vector）

单位矢量（unit vector），也被称为被归一化的矢量（normalized vector），对于给定非零矢量转换成单位矢量的过程称为归一化（normalization）

归一化

$$\hat v=\frac v{|v|}，v是任意非零矢量，v是零矢量时无意义$$

矢量的点积、投影

点积（dot product，也称为内积，inner product）

点积（坐标计算）

$$a\cdot b=b\cdot a=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$

点积（夹角计算）

$$a\cdot b=b\cdot a=|a||b|\cos\theta$$

$$\hat a\cdot\hat b=\frac{邻边}{斜边}=\cos\theta$$

几何意义

• 投影并相乘

应用

• 判断矢量夹角大小
• 通过单位矢量求投影值

补充

• 算法优化：不要比较模，根号开销大，可以直接比较点积自身的结果

矢量的叉积

叉积（cross product，也称为外积，outer product）

叉乘（坐标计算）（可构建行列式理解）

$$a\times b=(a_x,a_y,a_z)\times(b_x,b_y,b_z)=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)\neq b\times a（反交换律）$$

叉乘（夹角计算）

$$|a\times b|=|a||b|\sin\theta，方向：左手坐标系使用左手法则、右手坐标系使用右手法则，国内数学教材使用后者$$

几何意义

• 绝对值为平行四边形面积

应用：计算法线

矢量的合力

略

问题

• 点、矢量、标量关系？
  • 点（point），是n维空间中的一个位置，它没有大小、宽度等，只有位置
  • 矢量（vector，也称为向量），是n维开间中一种包含模（magnitude）和方向（direction）的有向线段，没有位置
    • 举例：速度（velocity）
  • 标量，只有大小没有方向
    • 举例：举例
  • 点和矢量具有不同的意义，但是从表示方式上两者非常相似