矩阵

目录

矩阵

概念

定义

• 矩阵（matrix）
• 列矩阵（column matrix）
• 行矩阵（raw matrix）

几何意义：变换

• 齐次坐标

运算定义

矩阵与标量的乘法

$$kM=Mk= k\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\ m_{21}&m_{22}&m_{23}\\ m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} km_{11}&km_{12}&km_{13}\\ km_{21}&km_{22}&km_{23}\\ km_{31}&km_{32}&km_{33} \end{bmatrix}$$

矩阵与矩阵的乘法

运算方法

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{im}b_{nj}=\sum^n_{k=1}a_{ik}b_{kj}$$

运算性质

• 不满足交换律
• 满足结合律

转置矩阵（transposed matrix）

运算方法

• 沿对角线对称

运算性质

• 矩阵转置的转置等于原矩阵

• 矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置

  $(AB)^T=B^TA^T$

逆矩阵（inverse matrix）

运算方法

• 挺麻烦的

运算性质

• 可逆，$(M^{-1})^{-1}=M$
• 单位矩阵的逆矩阵是本身，$I^{-1}=I$

运算关系性质

• $(M^T)^{-1}=(M^{-1})^T$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$、$(ABCD)^{-1}=D^{-1}C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

运算意义

• 单位矩阵除以原矩阵，相当于倒数的样子

其应用——变换（transform）

线性变换（linear transform）

线性变换指可以保留矢量和标量乘的变换，可以用3X3矩阵表示

• $$f(x)+f(y)=f(x+y)\\ kf(x)=f(kx)$$

• 举例

  • 缩放（scale）
  • 旋转（rotation）
  • 错切（shear）
  • 镜像（mirroring，也称为”映像“，reflection）
  • 正交投影（orthographic projection）

平移变换

平移变换不是线性变换，不满足标量乘法也不满足矢量加法，不能用一个3x3矩阵表示

仿射变换（affine transform）

仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型，可以使用一个4x4的矩阵来表示

为此需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间（homogeneous space）

总结

常见的变换种类和他们的特性

变换名称	是线性变换吗	是仿射变换吗	是可逆矩阵吗	是正交矩阵吗
平移矩阵	N	Y	Y	N
绕坐标轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
绕任意轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
按坐标轴缩放的缩放矩阵	Y	Y	Y	N
错切矩阵	Y	Y	Y	N
镜像矩阵	Y	Y	Y	Y
正交投影矩阵	Y	Y	N	N
透视投影矩阵	N	N	N	N

齐次坐标（homogeneous space）

齐次坐标是一个四维矢量（相对于三维空间而已，可以超过四维），可以把三维矢量转换成齐次坐标

运算类

三维矢量转换成齐次坐标

• 对于一个点，把w分量设为1
• 对方向矢量，把w分量设为
• 这样定义运算的原因：当用一个4x4矩阵对一个点进行变换时，平移旋转缩放都会施加于该点，但对方向矢量进行的平移会被忽略

分解基础变换矩阵

• 基础变换矩阵：纯平移、纯旋转、纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵

  • 这些矩阵有一些共同点，可以把一个继承变换矩阵分解成4个组成部分

    左上角3x3矩阵表示旋转和缩放，右上角表示平移，左下角是零矩阵，右下角是标量1

    $$\begin{bmatrix} M_{3x3}&t_{3x1}\\ 0_{1x3}&1 \end{bmatrix}$$

特殊矩阵

特殊矩阵

• 方块矩阵（square matrix）
• 对角矩阵（diagonal matrix）
  • 对角元素（diagonal elements）
• 单位矩阵（identity matrix）
• 正交矩阵（orthogonal matrix）
  • 特点
    • 等价于$MM^T=M^TM=I$
    • 等价于$M^T=M^{-1}$
    • 矩阵每一行都是单位矢量，且每一行个矢量之间互相垂直。该结论对列同样适用**【计算量最少的验证方法】**
  • 举例
    • 标准正交基
  • 应用
    • 快速求逆矩阵并减少运算量

变换矩阵

平移矩阵

对点变换

$$\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+t_x\\ y+t_y\\ z+t_z\\ 1 \end{bmatrix}$$

对矢量变换（无效）

$$\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{bmatrix}$$

特点

• 不是正交矩阵
• 对点有效，对矢量无效
• 逆矩阵是反向平移得到的矩阵

缩放矩阵

对点变换

$$\begin{bmatrix} k_x&0&0&0\\ 0&k_y&0&0\\ 0&0&k_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_xx\\ k_yy\\ k_zz\\ 1 \end{bmatrix}$$

对矢量变换

$$\begin{bmatrix} k_x&0&0&0\\ 0&k_y&0&0\\ 0&0&k_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_xx\\ k_yy\\ k_zz\\ 0 \end{bmatrix}$$

特点

• 一般不是正交矩阵
• 如果缩放系数$k_x=k_y=k_z$，我们把这样的缩放称为统一缩放（uniform scale），否则称为非统一缩放（nonuniform scale）
• 逆矩阵是使用原缩放系数的倒数来对点或方向矢量进行缩放

旋转矩阵

绕x轴旋转时

$$R_x(\theta)P= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta&0\\ 0&\sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}$$

绕y轴旋转时

$$R_y(\theta)P= \begin{bmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}$$

绕z轴旋转时（也适用于二维情况）

$$R_z(\theta)P= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}$$

特点

• 是正交矩阵，且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的
• 逆矩阵是旋转相反角度得到的变换矩阵

复合变换

顺序很重要

• 一般先缩放再旋转再平移，以保证结果一样
• 多个轴旋转时，在Unity中按zxy的顺序旋转，但注意呦两种坐标系可以选择
  • (1) 绕坐标系E连续进行旋转，应使用$(M_zM_xM_y)P$的顺序
  • (2) 每次旋转将坐标系一起旋转，应使用$M_yM_xM_ZP$的顺序
  • 两种坐标系使用不同的旋转顺序后，结果是一样的。而Unity文档中说明的旋转顺序是第一种情况的顺序

坐标空间的变换矩阵

一些变量

• 子坐标空间的一点：$A_c=(a,b,c)$
• 坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示$x_c、y_c、z_c$和原点位置$O_c$

父坐标空间与子坐标空间，一般有两个需求（方向矢量变换时则不需要扩展到齐次坐标空间，用3x3矩阵即可）

• (1) 将子坐标空间下的点或矢量$A_c$转换到父坐标空间下的表示$A_p$，即

  $$A_p=M_{c\rightarrow p}A_c$$

  其中$M_{c\rightarrow p}$表示的是从子坐标空间变换到父坐标空间的变换矩阵

  $$M_{c\rightarrow p}= \begin{bmatrix} |&|&|\\ x_c&y_c&z_c\\ |&|&|\\ \end{bmatrix} \xlongequal{非矢量时}$$

  |&|&|&|\ x_c&y_c&z_c&O_c\ |&|&|&|\ 0&0&0&1 \end

  $$$$

  $$A_c=M_{p\rightarrow c}A_p$$

  其中$M_{p\rightarrow c}$表示的是从父坐标空间变换到子坐标空间的变换矩阵

  $$M_{p\rightarrow c} =\begin{bmatrix} |&|&|\\ x_p&y_p&z_p\\ |&|&| \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -&x_c&-\\ -&y_c&-\\ -&z_c&- \end{bmatrix}$$

推导过程

$$\begin{aligned} A_p&=\bold O_c+a\bold x_c+b\bold y_c+c\bold z_c\\ &= \begin{bmatrix} |\\\bold O_C\\| \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} |&|&|\\ \bold x_c&\bold y_c&\bold z_c\\ |&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ x_c&y_c&z_c&O_c\\ |&|&|&|\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c\\1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

技巧：怎么判断横着放还是竖着放？可以猜，然后用$M_{A\rightarrow B}$来变换$x_B$，看结果是否为$(1,0,0)$

$$M_{A\rightarrow B}x_B= \begin{bmatrix} -&x_c&-\\ -&y_c&-\\ -&z_c&- \end{bmatrix} x_B= \begin{bmatrix} x_Bx_B\\ y_Bx_B\\ z_Bx_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$

其他

矩阵和矢量

可以用矩阵来表示矢量，列矩阵或行矩阵都行

但当他与另一个矩阵相乘时需要注意选择次序和行列矩阵

（题外话：Unity中，一般把矢量放在矩阵的右侧，即把矢量转换成列矩阵来进行运算，使用的矩阵乘法是右乘）