微积分

目录

微分

对比总结（自增）

可微、可导、连续、严格连续

两者的定义区别（仅比较定义表述）

• 一致连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)一致连续\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0，\exist\delta>0，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

• 连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

连续性和一致连续性的区别

• 在闭区间没有区别：根据定理4（一致连续性定理），闭区间连续则为一致连续
• 在开区间时有区别：（图像区别比较好理解）
  • 范围不同：一致连续是整体性质，连续是点的局部性质，从定义可见得
  • 包含关系：$一致连续\sub 连续\Leftarrow可导$
  • 图像区别：一致连续的函数图像不存在上升或下降坡度无限变陡的情况，连续却可以
  • 反例（函数连续但不一致连续）：如：$y=\frac1x$、$y=x^2（x\in[0,\infty]）$等等

导数、微分

多元才有区别

可导可微

• 一元函数没有区别：
• 多元函数时有区别：

结论口诀

• $可导\Rightarrow 连续\not\Rightarrow 可导$
• $一致连续\sub 连续，闭区间内：一致连续=连续$