微积分

目录

不定积分

概念总结

基本积分表（导数表的反操作，要背）

• 积分表【1】常量 / 幂函数类
  • $\int kdx=kx+C（k是常数）$
  • $\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C（\mu\neq-1）$
• 积分表【2】三角与反三角类（右下角三条不用记，可以用左下角三条代替）
  • \begin{align} \int\cos xdx&=\sin x+C&\int\sin xdx&={\color{red}-}\cos x+C\\ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2xdx&=\tan x+C&\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2xdx&={\color{red}-}\cot x+C\\ \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C&\int\csc x\cot xdx&={\color{red}-}\csc x+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C&\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&={\color{red}-}\arccos x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C&\int\frac{dx}{1+x^2}&={\color{red}-}arccot x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&=arcsec x+C&\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&={\color{red}-}arccsc x+C{\color{blue}（不记）} \end{align}
• 积分表【3】对数指数类
  • \begin{align} \int e^xdx&=e^x+C&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int\frac{dx}{x}&=\ln{\color{red}|x|}+C{\color{blue}（注意绝对值）} \end{align}

扩展积分表

• 扩展积分表【1】三角函数类

  • $\begin{aligned} \int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C&\int\cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\ \int\sec xdx&=\ln|\sec x+\tan x|+C&\int\csc xdx&=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}$

• 扩展积分表【2】倒数类（可配合有理分式使用）

  • $\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C&\int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}$

• 扩展积分表【3】双曲函数类

  • $\begin{aligned} \int sh~xdx&=ch~x+C&\int ch~xdx&=sh~x+C \end{aligned}$

• 其中扩展积分表的部分证明1

  • $$\begin{aligned} \int\csc xdx&=\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{d\frac{x}2}{\sin\frac x2\cos\frac x2}\\ &=\int\frac{d\frac x2}{\tan \frac x2\cos^2 \frac x2}=\int\frac{d\tan \frac x2}{\tan \frac x2}\\ &=\ln|\tan\frac x2|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}$$

  • \begin{aligned} \int \sec xdx&=\int\csc(x+\frac \pi 2)d(x+\frac \pi 2)\\ &=\ln|\csc(x+\frac\pi2)-\cot(x+\frac\pi2)|+C\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C

  $$$$

  • $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\int\frac{d\frac xa}{1+(\frac xa)^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C的扩展 \end{aligned}$$

  • $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{d\frac xa}{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}=\arcsin\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C的扩展 \end{aligned}$$

  • $$\begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}&=\frac1{2a}\int(\frac1{\color{red}x-a}-\frac1{\color{blue}x+a})dx\\ &=\frac1{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C\\ &=\frac1{2a}\ln|\frac{\color{red}x-a}{\color{blue}x+a}|+C \end{aligned}$$

  • $$\begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2}dx&=（令x=a\sin t）p201~to ~p202三题都是替换三角函数的方法\\ &=\frac {a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac12 x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{aligned}$$

  • $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=（令x=a\tan t）\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}$$

  • $$\begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=（令x=a\sec t）\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}$$

不定积分性质

• 不定积分性质【和】：$设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则\\ \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

• 不定积分性质【常数积】：$设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

换元积分法和分部积分法（不定积分）

• 第一类换元法【复合函数】：$设f(u)具有原函数，u=\varphi(x)可导，则有换元公式\\ [\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx$

  （不记：本质是符号变法$d[F(x)+C]=f(x)dx，比如：\varphi'(x)dx=du$）

  （一般是设$u=f(x)$）

• 第二类换元法【参数函数】：$设x=\psi(t)是单调的可导函数，并且\psi'(t)\neq0，又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数，则有换元公式\\ \int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\\ 其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数$

  （同第一类换元法）

  （一般是令$x=f(t)$）

• 分部积分公式：$\int uv'dx=uv-\int vu'dx，其中(uv)'=u'v+uv'\\ \int udv=uv-\int vdu$

  （使用注意：$\int vdu$要更易积出、$v$要容易求得）

题型（还是挺讲技巧的）

换元积分法技巧

• 和积变化
  • 技巧
    • dx部分可随意增减常数，结果不变
    • dx部分或积分部分可随意乘除常数，积分部分或整体部分乘除该常数的倒数，则结果不变
• 幂变化
  • 技巧
    • $x^a$，积分部分的幂变小多少次，则dx的幂也变大多少次
  • 通用
    • $幂和不变定律（幂为-1时例外）\\ \because\int x^{n+m}dx^1=\frac1{m+1}\int x^n(x^{m+1})'dx=\frac1{m+1}\int x^ndx^{1+m}\\ \because\int x^ndx^{1+m}=\int x^n(x^{m+1})'dx=(m+1)\int x^{n+m}dx\\ \therefore \int x^adx^b=k\int x^cdx^d（a+b=c+d）$
  • 举例
    • 幂不变：$\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx\\ =\int\frac{(u-2)^2}{u^3}du\\ =\int(u^{-1}-4u^{-2}+4u^{-3})$
    • 幂变小一次：$\int 2xe^{x^2}dx\\ =\int e^{x^2}dx^2\\$
    • 幂变小一次：$\int x\sqrt{1-x^2}dx\\ =(-\frac12)\int\sqrt{1-x^2}d(1-x^2)\\ =(-\frac12)\int\sqrt xdx$
    • 幂变大1/2：$\int\frac{e^{3\sqrt x}}{\sqrt x}dx\\ =\frac23\int e^{3\sqrt x}d3\sqrt x$

题型——积分题（非常考验对题型的熟练度和敏感度）

• 积分部分为多项式 - 幂
  • 如上幂变化
• 三角函数积分题（纯三角函数）（很考验三角函数的性质熟练度）
  • 总技巧：一般情况下都是都x积分，需要考虑把dx换成哪种三角函数，dx可以是$\sin、\cos、\tan、\sec$等的任意一种
    • $\sin$或$\cos$情况
      • 三角函数的幂数为1
        • 方法：可代扩展积分表。但要证的化一般通过二倍角变换
        • 举例：$\int \csc xdx$
      • 三角函数的幂数为奇数、且数量>2
        • 方法：把其中一个分离到dx后，积分部分的同名幂为偶数，这意味着他们可以变成另一个函数名，最终实现消元
        • 举例：$\int \sin^3xdx=\int(1-\cos^2x)d\cos x、\int\sin^2x \cos^5xdx$
      • 三角函数的幂数为偶数、且同名三角函数的幂也为偶数
        • 方法：二倍角变换
        • 举例：$\int \cos^2xdx、\int \sin^2 x\cos^4xdx$
    • $\sec$或$\csc$情况
      • 三角函数的幂>3
        • 方法：把两个拆出来，分离到dx中
    • $\tan$情况
      • 方法：拆开来看
      • 举例：$\int\tan xdx=\int\frac{1}{\cos x}d(\cos x)$
    • 其他情况
      • 方法：万能方法：和差化积
      • 举例：$\int\cos3x\cos 2xdx$
  • 成组技巧
    • 有的三角函数组合可看成一个整体，而不能拆开看
      • 如：$\tan^2x、\cot^2x、\sin^2x、\cos^2 x、1-\sec^2、1-\csc^2、1-\sin^2、1-\cos^2$
      • 实战：$\int\tan^2xdx$，将$\tan^2x\rightarrow \sec^2x-1$再积分
  • 但也并不是所有情况都要把dx换成三角函数，有的简单的就不用
    • 举例：$\int \cos^2xdx$

分部积分法技巧与举例

技巧：乘因子性质判别法：

乘因子有两种：一种易于积分和微分，具有滚雪球特性。一种易于求导却难以积分

• 前者通过换元积分法把自己放到dx部分，然后再对整体使用分部积分法。以对其他乘因子进行求导简化操作
  • 这种乘因子（这里介绍的顺序是带排名的，应优先把前面的换元为微分部分）
    • 指数函数$e^x$，举例：$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx$
    • 三角函数$\sin、\cos、\sec、\csc$，举例：$\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx$
    • 幂函数$x^n$
  • 有时可能需要替换多次，然后找规律
    • 举例：$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx = e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx$
    • 举例：$\int \sec^3xdx$
• 后者通过换元积分法把其他乘因子放到dx部分，然后再对整体使用分部积分法。以对这个部分进行求导简化操作
  • 这种乘因子
    • 对数函数$\ln x$