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微积分

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微积分

目录

定积分

总结（自增）

概念总结

  • 英文
    • 辛普森：Simpson

定理总结

定积分性质

定积分存在定理

  • 可积【定理1】：设f(x)在区间[a,b]上连续⇒f(x)在[a,b]上可积设f(x)在区间[a,b]上连续\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积
  • 可积【定理2】：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点⇒f(x)在[a,b]上可积设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积

定积分性质

  • 定积分【性质1】：设α与β均为常数，则∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx设\alpha与\beta均为常数，则\\ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx
  • 定积分【性质2】：设a<c<b，则∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx设a<c<b，则\\ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx
  • 定积分【性质3】：如果在区间[a,b]上f(x)≡1，那么∫ab1dx=∫abdx=b−a如果在区间[a,b]上f(x)\equiv1，那么\\ \int_a^b1dx=\int_a^bdx=b-a
  • 定积分【性质4】：如果在区间[a,b]上f(x)≥0，那么∫abf(x)dx≥0      （a<b）如果在区间[a,b]上f(x)\geq0，那么\\ \int_a^b f(x)dx\geq0~~~ ~~~（a<b）
  • 定积分【性质4推论1】：如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)，那么∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx      （a<b）如果在区间[a,b]上f(x)\leq g(x)，那么\\ \int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b g(x)dx~~~ ~~~（a<b）
  • 定积分【性质5】：设M及m分布是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)      （a<b）设M及m分布是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则\\ m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)~~~ ~~~（a<b）
  • 定积分【性质6】定积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)      （a≤ξ≤b）如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点\xi，使下式成立：\\ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)~~~ ~~~（a\leq \xi\leq b）

积分上限函数定理

（注意：定积分与积分变量的记法无关，dxdx通常被记作dtdt）

  • 积分上限函数【定理1】：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数Φ(x)=∫axf(t)dt在[a,b]上可导，并且它的导数Φ′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x)      （a≤x≤b）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,b]上可导，并且它的导数\\ \Phi'(x)=\frac d{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)~~~ ~~~（a\leq x\leq b）

  • 积分上限函数【定理2】：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数Φ(x)=∫axf(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数\Phi (x)=\int_a^x f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数

牛顿 - 莱布尼茨公式（求值方法）

  • 牛顿莱布尼兹公式（也叫微积分基本定理）：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫abf(x)dx=F(b)−F(a)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么\\ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

换元积分法和分部积分法（定积分）

  • 换元积分法：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足条件(1) φ(α)=a，φ(β)=b(2) φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域Rφ=[a,b]则有：∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt=∫αβf(φ)dφ（理解：第二类换元法是x←φ，φ([α,β])⇔[a,b]）假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=\varphi (t)满足条件\\ (1)~\varphi(\alpha)=a，\varphi(\beta)=b\\ (2)~\varphi(t)在[\alpha,\beta]（或[\beta,\alpha]）上具有连续导数，且其值域R_\varphi=[a,b]\\ 则有：\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi)d\varphi\\ （理解：第二类换元法是x\leftarrow\varphi，\varphi([\alpha,\beta])\Leftrightarrow[a,b]）

  • 分部积分法：∫abuv′dx=[uv]ab−∫abvu′dx或∫abudv=[uv]ab−∫abvdu（理解：和不定积分的分部积分法基本相同）\int_a^b uv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx\\ 或\int_a^b udv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu\\ （理解：和不定积分的分部积分法基本相同）

无穷限 - 反常积分的审敛法

  • 无穷反常积分审敛【1】单调有界法 ：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)≥0.若函数F(x)=∫axf(t)dt在[a,+∞)上有上界，那么∫a+∞f(x)dx收敛设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 若函数F(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,+\infty)上有上界，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛
  • 无穷反常积分审敛【2】比较审敛原理：设函数f(x)，g(x)在区间[a,+∞)上连续.如果0≤f(x)≤g(x)（a≤x<+∞），并且∫a+∞g(x)dx收敛，那么∫a+∞f(x)dx也收敛如果0≤g(x)≤f(x)（a≤x<+∞），并且∫a+∞g(x)dx发散，那么∫a+∞f(x)dx也发散设函数f(x)，g(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果0\leq f(x)\leq g(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ 如果0\leq g(x)\leq f(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx发散，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也发散
  • 无穷反常积分审敛【3】比较审敛法 ：设函数f(x)在区间[a,+∞)（a>0）上连续，且f(x)≥0.如果存在常数M>0及p>1，   使得f(x)≤Mxp（a≤x<+∞），那么∫a+∞f(x)dx收敛如果存在常数N>0（p=1），使得f(x)≥Nx1（a≤x<+∞），那么∫a+∞f(x)dx发散设函数f(x)在区间[a,+\infty)（a>0）上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数M>0及p>1，~~~使得f(x)\leq\frac M{x^p}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（p=1），使得f(x)\geq\frac N{x^1}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散
  • 无穷反常积分审敛【4】极限审敛法 ：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)≥0.如果存在常数p>1，                使得lim⁡x→+∞xpf(x)=c<+∞，那么∫a+∞f(x)dx收敛如果lim⁡x→+∞xf(x)=d>0（或=+∞）,                                  那么∫a+∞f(x)dx发散设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数p>1，~~~~~~~~~~~~~~~~使得\lim_{x\rightarrow+\infty}x^p f(x)=c<+\infty，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow+\infty}xf(x)=d>0（或=+\infty）,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散
  • 无穷反常积分审敛【5】绝对收敛法：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续.如果反常积分∫a+∞∣f(x)∣dx收敛，那么∫a+∞f(x)dx也收敛 通常满足该条件的反常积分绝对收敛，也可表述为：绝对收敛的反常积分∫a+∞f(x)dx必定收敛设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果反常积分\int_a^{+\infty}|f(x)|dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ ~\\通常满足该条件的反常积分绝对收敛，也可表述为：绝对收敛的反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx必定收敛

无界函数 - 反常积分审敛法

  • 无界反常积分审敛【1】比较审敛法：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点.如果存在常数M>0及q<1，   使得f(x)≤M(x−a)q（a<x≤b），那么∫abf(x)dx收敛如果存在常数N>0（q=1），使得f(x)≤N(x−a)1（a<x≤b），那么∫abf(x)dx发散设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数M>0及q<1，~~~使得f(x)\leq\frac M{(x-a)^q}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（q=1），使得f(x)\leq\frac N{(x-a)^1}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx发散
  • 无界反常积分审敛【2】极限审敛法：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点.如果存在常数0<q<1，使得lim⁡x→a+(x−a)qf(x)存在，那么∫abf(x)dx收敛如果lim⁡x→a+(x−a)1f(x)=d>0（或=+∞），        那么∫abf(x)dx发散设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数0<q<1，使得\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^qf(x)存在，那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^1f(x)=d>0（或=+\infty），~~~~~~~~那么\int_a^bf(x)dx发散

题型

p253，例12，证明定积分公式