微积分

目录

函数与连续性

函数复习

基本初等函数

• 【幂函数】$y=x^\mu（\mu\in R）$
• 【指数函数】$y=a^x（a>0且a\neq1）$
• 【对数函数】$y=long_ax（a>0且a\neq1。特别当a=e时，记为y=In~x）$
• 【三角函数】$y=\sin x,~y=\cos x,~y=\tan x等$
• 【反三角函数】$y=\arcsin x,~y=\arccos x,~y=\arctan x等$

双曲函数与反双曲函数

• 【双曲正弦】$sh~x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
• 【双曲余弦】$ch~x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
• 【双曲正切】$th~x=\frac{sh~x}{ch~x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
• 【反双曲正弦】$y=arsh~x=In(x+\sqrt{x^2+1})$
• 【反双曲余弦】$y=arch~x=In(x+\sqrt{x^2-1})$
• 【反双曲正切】$y=arth~x=\frac12In\frac{1+x}{1-x}$

连续性

连续函数运算、与初等函数连续性

• 连续函数【定理1】差积商的连续性：$设函数f(x)和g(x)在点x_0连续，\\则它们的和（差）f\pm g、积f\cdot g及商\frac fg（g(x_0)\neq0）都在点x_0连续$

• 连续函数【定理2】反函数连续性：$设函数y(x)在区间I_x上单调增加（或减少）且连续，\\ 则反函数x=f^{-1}(y)也在对应的区间I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}上单调增加（或减少）且连续$

• 连续函数【定理3】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]由函数u=f(x)与函数y=f(u)复合而成，\overset oU(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=f(u_0)$

• 连续函数【定理4】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，U(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若函数u=g(x)在x=x_0连续，且g(x_0)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则复合函数y=f[g(x)]在x=x_0也连续$

  ^（话说连续函数定理3、4不就是前面的极限运算定理6根据连续性的定义2的同义说法吗，特意强调一次？）

• 连续函数【None】初等函数连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的​（补充：注意是“定义域内”，tan函数等也算在里）

闭区间连续函数的性质

• 闭区间连续函数【定理1】有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数 在该区间上有界 且一定能取得它的最大值和最小值
• 闭区间连续函数【定理2】零点定理（低配版介值定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)\cdot f(b)<0），\\ 则在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=0$
• 闭区间连续函数【定理3】介值定理（高配版零点定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，区间端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，\\ 对于A与B之间任意一个数C，\\ 在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=C$
• 闭区间连续函数【定理3推论】：$在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值$
• 闭区间连续函数【定理4】一致连续性定理：$如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续$

一致连续性、连续性、可导

两者的定义区别（仅比较定义表述）

• 一致连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)一致连续\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0，\exist\delta>0，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

• 连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

连续性和一致连续性的区别

• 在闭区间没有区别：根据定理4（一致连续性定理），闭区间连续则为一致连续
• 在开区间时有区别：（图像区别比较好理解）
  • 范围不同：一致连续是整体性质，连续是点的局部性质，从定义可见得
  • 包含关系：$一致连续\sub 连续\Leftarrow可导$
  • 图像区别：一致连续的函数图像不存在上升或下降坡度无限变陡的情况，连续却可以
  • 反例（函数连续但不一致连续）：如：$y=\frac1x$、$y=x^2（x\in[0,\infty]）$等等

单调性与凹凸性（导数与曲线性质、导数几何意义）

函数判定定理（高中内容，凹凸性定义可用于缩放函数）

• 单调性导数定理：$设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导\\ (1)~如果在(a,b)内f'(x)\geq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加\\ (2)~如果在(a,b)内f'(x)\leq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少$
• 凹凸性定义与性质：$设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x_1,x_2，\\ (1)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）\\ (2)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）\\$
• 凹凸性导数定理：$设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的$

极值性质（都是废话）

• 极值定理【必要条件】：$函数f(x)在x_0处可导，且在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0$
• 极值定理【充分条件】1：$设函数f(x)在x_0处连续，且在x_0的某去心邻域\overset oU（x_0,\delta)内可导\\ (1)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)>0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)<0，则f(x)在x_0处取得极大值\\ (2)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)<0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)>0，则f(x)在x_0处取得极小值\\ (3)~若x\in\overset 0U(x_0,\delta)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在x_0处没有极值\\$
• 极值定理【充分条件】2：$设函数f(x)在x_0处具有二阶导数且f'(x_0)=0，f''(x_0)\neq0，则\\ (1)~当f''(x_0)<0时，函数f(x)在x_0取得极大值\\ (2)~当f''(x_0)>0时，函数f(x)在x_0取得极小值$