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微积分

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微积分

目录

函数与微分定理

符号总结

英文名

费马（Fermat）、罗尔（Rolle）、拉格朗日（Lagrange）、柯西（Cauchy）、洛必达（L' Hospital）、泰勒（Taylor）、麦克劳林（Maclaurin）

定理总结

微分中值定理

微分中值定理（图像理解，与闭区间连续函数性质（零点定理和介值定理）有异曲同工之妙）

  • 中值定理【费马引理】：
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)      （或f(x)≥f(x0）那么f′(x0)=0设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，并且在x_0处可导，如果对任意的x\in U(x_0)，有\\ f(x)\leq f(x_0)~~ ~~ ~~（或f(x)\geq f(x_0）\\ 那么f'(x_0)=0
  • 中值定理【罗尔定理】：（下位定理，画图理解）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξ（a≤ξ≤b），使得f′(ξ)=0如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a\leq\xi\leq b），使得f'(\xi)=0
  • 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理：（画图理解，高中也可以提前用）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)成立如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使等式\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）或φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）\\ 或\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理：（能用于准确描述Δx\Delta x的增量，后面泰勒展开的拉氏余项会用到）
    • Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx（0<θ<1）（还是当曲线，有限增值公式）     =f′(x)⋅Δx+o(Δx)（微分线段看成直线）\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x（0<\theta<1）（还是当曲线，有限增值公式）\\ ~~ ~~ ~= f'(x)\cdot\Delta x+o(\Delta x)（微分线段看成直线）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 导出】：（不废话吗）
    • 如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零
    • 逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数
  • 中值定理【柯西中值定理】：（不能理解为左式分数上下同除以b−ab-a，因为不能确保右式的ξ\xi是同一值，两端的端点也不同）
    • 如果函数f(x)几F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x∈(a,b)，F′(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立如果函数f(x)几F(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~对任一x\in (a,b)，F'(x)\neq0\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi，使等式\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F(x)，两端相等，符合罗尔定理证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)，两端相等，符合罗尔定理

洛必达法则（求值方法）

洛必达法则（高中可学可用，容错注意：结果存在才能用）

  • 洛必达法则【定理1】：设(1) 当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow a时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
  • 洛必达法则【定理2】：设(1) 当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 当∣x∣>N时，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→∞f(x)F(x)=lim⁡x→∞f′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow \infty时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~当|x|>N时，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

泰勒公式（构造无穷小）

泰勒公式定理

  • 泰勒中值定理【佩亚诺余项】：如果函数f(x)在x0处具有(n)阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((x−xo)n)理解原理：右式的k阶导数均=f(k)+o((x−x0)k)，补充：这里的Rn的表达式是佩亚诺余项如果函数f(x)在x_0处具有{\color{red}(n)}阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有\\ f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=o((x-x_o)^n)\\ 理解原理：右式的k阶导数均=f^{(k)}+o((x-x_0)^k)，补充：这里的R_n的表达式是佩亚诺余项
  • 泰勒中值定理【 拉氏余项 】：如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1，（ξ是x0与x之间的某个值）补充：这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项如果函数f(x)在x_0的某个邻域U(x_0)内具有{\color{red}(n+1)}阶导数，那么对任一x\in U(x_0)，有\\f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，（\xi是x_0与x之间的某个值）\\ 补充：这里的R_n(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项
  • 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1)，佩亚诺余项和拉氏余项f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\\ R_n(x)=o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}，佩亚诺余项和拉氏余项