不动点和蛛网图

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B站：杨大师网课

不动点和蛛网图系列（共5节，不分p，是5个不同的视频）

实数的不动点

任何实数数列都有不动点吗？ $a_{n+1}=a_n^2+8=a_n\Leftrightarrow a_n^2-a_n+8=0\Rightarrow a_n无实数解$

数列角度： $\left\{\begin{align} &a_{n+1}=a_n \\ &a_{n+1}=a_n^2+b \end{align}\right.有解$
函数角度： $\left\{\begin{align} &y=x \\ &y=x^2+b \end{align}\right.有解$
函数图像角度：
- 生成函数的图像与直线 $y=x$ 有交点
- 生成函数图像与直线 $y=x$ 的交点的横（纵）坐标=不动点

例题

例3、（2019浙江10改编）已知数列\{a_n\}满足a_1=a，a_{n+1}=a_n^2+6，n\in N^+，则（~~~~~）\\ \begin{aligned} &A.当b=\frac12时，\forall a\in R，a_{10}>10恒成立 &&B.当b=\frac14时，\forall a\in R，a_{10}>10恒成立\\ &C.当b=-2时，\forall a\in R，a_{10}>10恒成立 &&D.当b=-4时，\forall a\in R，a_{10}>10恒成立 \end{aligned}

易知： $b=\frac12时，无不动点\\ b=\frac14时，不动点\frac12\\ b=-2时，不动点-1或2\\ b=-4时，不动点\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\\ （实际不用算，画图判断出不动点<10即可）$

故排除BCD

而A易证其单调递增， $a_1=0$ 时数列最小，递推（可用放缩简化计算量）后其成立

当 $a_1\neq1时，随着n增大\\ a_n逐渐“远离”不动点，叫“排斥不动点”，如y=2x\\ a_n逐渐“靠拢”不动点，叫“吸引不动点”，如y=\frac12x$

迭代计算是一个代数运算的过程（前一步的y，是后一步的x）；“蛛网图”是把迭代过程几何（图像）化处理

总之画图分析，简单明了不用记

不要记排斥和吸引，记向左还是向右
- 生长函数在y=x之上的，会往右
- 生长函数在y=x之下的，会往左
- 生长函数在y=x相交的，会不动
- 这样在生长函数与y=x有多个交点时，也成立
生长函数非单调时
- 有多种情况
  - $间断点$
  - $y'(x)>1>0时后变负数$
  - $y'(x)<1时变负数$
- 注意下，可能 $a_2$ 才停滞在不动点。或者 $a_1$ 到 $a_2$ 的递增的，后面都是递减
- 单调性改变的地方可能也需要分端看，特别是无穷间断点
相交与相切
- 如上，没什么好补充的