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有阻力的落体运动

LincZero小于 1 分钟

有阻力的落体运动

Q:(一个科普视频常见的问题)为什么一滴水从万米高空落下却不会砸死人

A:雨滴终端速度小

Prove:

空气阻力

F=12CρSV2空气阻力=12空气阻力系数×空气密度×空气迎风面积×物体与空气的相对运动速2 F=\frac12 C\rho SV^2\\ 空气阻力=\frac12 空气阻力系数\times 空气密度\times 空气迎风面积\times 物体与空气的相对运动速度^2

重力

G=mg G=mg

终端速度计算

mg=12CρSV2V2=2mgCρS=CmS  当为球形:V2=Cr3ρr2=C(rρ)动量I=mv=Cρ12r72 mg=\frac12 C\rho SV^2\\ V^2=\frac{2mg}{C\rho S}=\mathbf{C}_常\frac{m}{S}\\~\\~\\ 当为球形:\\ V^2=\mathbf{C}_常\frac{r^3\rho_物}{r^2}=\mathbf{C}_常(r\rho_物)\\ 动量I=mv=\mathbf{C}_常 \rho_物^{\frac 12} r^{\frac 72}

Q.E.D.


Q:是不是只要物体足够轻就砸不死人?(形状为球)

A:只要我的半径足够小,终端速度就会足够大,动量也会足够大

Prove:这次结果我们保留m和r,去除密度

m=43ρr3ρ=3m4r3 当为球形:V2=Cr3ρr2=C(rρ)=C(3m4r2)动量I=mv=C(3m322r) m=\frac43\rho_物r^3\\ \rho_物=\frac{3m}{4r^3}\\~\\ 当为球形:\\ V^2=\mathbf{C}_常\frac{r^3\rho_物}{r^2}=\mathbf{C}_常(r\rho_物)=\mathbf{C}_常(\frac{3m}{4r^2})\\ 动量I=mv=\mathbf{C}_常(\frac{\sqrt3 m^{\frac 32}}{2r})

Q.E.D.