《高等数学》

目录

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函数与极限

映射与函数

映射（算子）概念

• 类型
  • 单射
  • 满射
  • 双射（一一映射）
• 分支
  • 泛函（$非空集X\rightarrow数集合Y$）
  • 变换（$非空集X\rightarrow X$）
  • 函数（$实数集X\rightarrow实数集Y$）
• 其他
  • 逆映射（只有单射才存在逆映射）
  • 复合映射

函数概念

• 定义：实数集到实数集的映射（复变函数不算）

• 基本概念

  • 自变量、因变量
  • 定义域（$\supseteq 自然定义域$）、值域

• 特性

  • 有界性：上界下界、有界无界
  • 单调性：单调函数、非单调函数
  • 奇偶性：奇函数偶函数、非奇非偶函数
  • 周期性：周期

• 运算

  • $f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D$
  • $f\cdot g:(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D$
  • $\frac fg:(\frac fg)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D,\{x|g(x)=0,x\in D\}$

• 其他

  • 直接函数，$f(x)=y$
  • 反函数（逆映射），$f^{-1}(y)=x$
  • 复合函数（复合映射），$f⁰g(x)=f[g(x)]，复合函数$

• 分类

  • 基本初等函数
    • 【幂函数】$y=x^\mu（\mu\in R）$
    • 【指数函数】$y=a^x（a>0且a\neq1）$
    • 【对数函数】$y=long_ax（a>0且a\neq1。特别当a=e时，记为y=In~x）$
    • 【三角函数】$y=\sin x,~y=\cos x,~y=\tan x等$
    • 【反三角函数】$y=\arcsin x,~y=\arccos x,~y=\arctan x等$
  • 双曲函数与反双曲函数
    • 【双曲正弦】$sh~x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
    • 【双曲余弦】$ch~x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
    • 【双曲正切】$th~x=\frac{sh~x}{ch~x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
    • 【反双曲正弦】$y=arsh~x=In(x+\sqrt{x^2+1})$
    • 【反双曲余弦】$y=arch~x=In(x+\sqrt{x^2-1})$
    • 【反双曲正切】$y=arth~x=\frac12In\frac{1+x}{1-x}$

• 举例

  • 绝对值函数、符号函数、取整函数、分段函数

  • 范德瓦耳斯（van der Waals）方程。分段函数

    p = \left\{\begin{align} &\frac\gamma{V-\beta}-\frac\alpha{V^2},&&\beta<V<V_0\\ &\frac kV,&&V\geq V_0 \end{align}\right.

  • 狄利克雷（Dirichlet）函数。周期函数，任何正有理数r都是周期，不存在最小正周期

    D(x) = \left\{\begin{align} &1,&&x\in Q\\ &0,&&x\in Q^c \end{align}\right.

双曲函数补充（自增）

双曲函数特性，以及与三角函数的比较

（双曲函数有什么用？有的函数的函数的极限就是是双曲函数，但不常用，竞赛可能会用）

双曲函数	三角函数
$sh(x\pm y)=sh~xch~y\pm ch~xsh~y$	$\sin(x\pm y)=\sin x \cos y\pm \cos x \sin y$
$ch(x\pm y)=ch~xch~y{\color{Red} \pm} sh~xsh~y$	$\cos(x\pm y)=\cos x \cos y{\color{Green} \mp} \sin x \sin y$

数列的极限

极限

• 分类
  • 数列极限
  • 函数极限

数列

• 概念

  • 项、一般项（或通项）
  • 收敛、发散

• 数列极限定义

  • 原定义

    $设\{x_n\}为一数列.\\ 如果存在常数a，对于任意给定的正数\varepsilon （不论它多么小）.总存在正整数N，使得当n>N时，\\ 不等式|x_n-a|<\varepsilon都成立，\\ 那么就称常数a是数列\{x_n\}的极限，或者称数列\{x_n\}收敛于a，\\ 记为\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a,或x_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$

  • 定义表述

    $$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0，\exist正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$$

• 收敛数列性质

  • 收敛数列【定理1】极限的唯一性：数列收敛，则极限唯一
  • 收敛数列【定理2】收敛数列有界性：数列收敛，则数列有界（反之不行）
  • 收敛数列【定理3】收敛数列（局部）保号性：数列收敛，且极限>0（或<0），则$\exist N，当n>N时，都有x_n>0（或<0）$
  • 收敛数列【定理4】收敛数列与其子数列间关系：数列收敛于a，则其任一子数列也收敛于a（发散数列可能有收敛子数列）

函数的极限

函数极限

• 极限的定义（有两种情形）

  • 自变量趋于某有限值时，f(x)的变化情形（数组极限无该情形）

    • 原定义

      $设f(x)在点x_0的某一去新邻域内有定义.\\ 如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon（不存它多么小）.总存在正数\delta，使得当x满足不等式0<|x-x_0|<\delta时，\\ 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<\varepsilon，\\ 那么常数A就叫做函数f(x)当x\rightarrow x_0时的极限\\ 记作\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A或f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow x_0)$

    • 定义表述

      $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exists\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-A|<\varepsilon$$

  • 自变量趋于无穷大/小时，f(x)的变化情形。定义：

    • 原定义

      $设f(x)当|x|大于某一正数时有定义.\\ 如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon（不存它多么小）.总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，\\ 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<\varepsilon，\\ 那么常数A就叫做函数f(x)当x\rightarrow\infty时的极限\\ 记作\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A或f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow\infty)$

    • 定义表述

      $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist X>0，当|x|>X时，有|f(x)-A|<\varepsilon$$

• 概念

  • 单侧极限、左极限右极限

• 函数极限性质

  • 函数极限【定理1】函数极限的唯一性：$极限存在，则该极限唯一$

  • 函数极限【定理2】函数极限的局部有界性：$极限存在，则存在常数M和\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)|\leq M$

  • 函数极限【定理3】函数极限的局部保号性：$极限存在，且极限>0（或<0），则\exist常数\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有f(x)>0（或<0）$

  • 函数极限【定理3变形】：$如果lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A(A\neq0)，那么就存在着x_0的某一去心邻域\overset oU(x_0)，当x\in \overset oU(x_0)时，就有|f(x)|>\frac{|A|}2$

  • 函数极限【定理3推论】：$如果在x_0的某去心邻域内f(x)\geq0（或f(x)\leq0），而且\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，那么A\geq0（或A\leq0）$

  • 函数极限【定理4】函数极限与数列极限的关系：$lim_{x\rightarrow x_0}f(x)极限存在，\{x_n\}为函数定义域内任一收敛于x_0的数列，且满足x_n\neq x_0(n\in N_+).\\ 那么相应的数值数列\{f(x_n)\}必收敛，且lim_{x\rightarrow\infty}f(x_n)=lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$

题型 - 证明极限是A（自增）

• 证明题（证明极限是A），思路：

  • $求|lim_{x\rightarrow x_0}-A|<\varepsilon时，|x-x_0|与\varepsilon关系，进而证得满足0<|x-x_0|<\delta的\delta存在$

  • $求|lim_{x\rightarrow \infty}-A|<\varepsilon时，|x|与\varepsilon关系，进而证得满足|x|>X的X存在$

无穷小与无穷大

• 无穷小

  • 定义

    • 原定义

      $如果函数f(x)当x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）时的极限为零，\\ 那么称函数f(x)为当x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）时的无穷小$

    • 定义表述

      $$\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}f(x)=0$$

  • 无穷小性质

    • 无穷小【定理1】$在自变量的同一变化过程x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha，其中\alpha是无穷小$

• 无穷大

  • 定义

    • 原定义

      $设函数f(x)在x_0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.\\ 如果对于任意给定的正数M（不论它多大），总存在正数\delta（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x_0|<\delta（或|x|>X），\\ 对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，\\ 那么称函数f(x)是当x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）时的无穷大，\\ 记作lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty（或lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty）$

    • 定义表述

      $$\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0，\exist \delta（或X）>0，当0<|x-x_0|<\delta（或|x|>X）时，有|f(x)|> M$$

  • 无穷大性质

    • 无穷大【定理1】$在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则\frac1{f(x)}为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)\neq0，则\frac1{f(x)}为无穷大$

极限运算法则

定理

极限运算法则定理

• **极限运算【定理1】**两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和也是无穷小

• **极限运算【定理2】**有界函数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论1】**常数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论2】**有限个无穷小的乘积是无穷小

• 极限运算【定理3】$如果\lim f(x)=A，\lim g(x)=B，那么\\ （1）\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B\\ （2）\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B\\ （3）\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac AB（其中B\neq0）$

• 极限运算【定理3推论1】$如果\lim(x)存在，而c为常数，那么\lim[cf(x)]=c\lim f(x)$

• 极限运算【定理3推论2】$如果\lim(x)存在，而n是正整数，那么\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$

• 极限运算【定理4】$设有数列\{x_n\}和\{y_n\}.如果\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A、\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=B，那么\\ （1）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B\\ （2）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B\\ （3）\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB（其中y_n\neq0(n=1,2,\cdots)且B\neq0）$

• 极限运算【定理5】$如果\varphi(x)\geq\psi(x)，而\lim\varphi(x)=A，\lim\psi(x)=B，那么A\geq B$

• 极限运算【定理6】复合函数的极限运算法则：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x_0的某去心邻域内有定义.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A，且存在\delta_0>0，当x\in\overset oU(x_0,\delta_0)时，有g(x)\neq u_0，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A$

6条定理记法

• 定理1、2关于无穷小的和/积为无穷小
• 定理3、4关于有极限函数/数列的四则运算与幂运算
• 定理5是恒大于关系、定理6是复合函数运算

题型 - 求极值题（自增）

• 求极值题
  • 先利用极限运算法则定理1~6简化求值公式
    • 定理2：$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}x=lim_{x\rightarrow\infty}(\sin x*\frac1x)，定理2得0$
    • 定理3：$lim_{x\rightarrow2}\frac{x^3-1}{x^2-5x+3}=\frac{lim_{x\rightarrow2}(x^3-1)}{lim_{x\rightarrow2}(x^2-5x+3)}$
  • 其他方法
    • 代数法：$lim_{x\rightarrow1}x=1$
    • 相消法：$lim_{x\rightarrow1}\frac{x-3}{x^2-9}=lim_{x\rightarrow1}\frac 1{x-3}$
    • 倒数法（无穷大定理1）：$lim_{x\rightarrow1}\frac 1{x-1}不能用定理3-3，lim_{x\rightarrow1}x-1=0以得原式=\infty$
    • 同除法：$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}上下同除x^3化简得\frac37，也可直接用比阶法$
    • 比阶法：lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n}= \left\{\begin{align} 0，当n>m\\ \frac{a_0}{b_0}，当n=m\\ \infty，当n<m \end{align}\right.
  • 凑形式类
    • $(x+1)^{\frac1x}$形式：$凑这个比较难看得出也比较难凑\\ 举例：\lim_{x\rightarrow0}(1+3\tan^2x)^{cot^2x}、\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3+x}{6+x}^{\frac{x-1}2}$
  • 极值题化简技巧
    • 和差化积：$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}使用和差化积后，分子可以等价出一个x-a出来$
• 通用化简类
  • 对指法：$在通用化简中几乎是f(x)^{g(x)}的唯一方法，{\color{red}但在求极值中不是}，极值题还可以凑(x+1)^{\frac1x}\sim e（0^\infty），但本质上也是可以用(对指法+诺必达)做的\\ 举例：x^x、(\tan x)^{\sin x}$
  • 分子有理化：$出题：根号相减没什么好的方法（通解方法），通常题目是凑有规律的根号相减形式\\ 原理：分子有理化后分子会变成常数、或者变成约分以后是常数\\ 举例：\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{5x-4}-\sqrt x}{x-1}、\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}$

极限存在准则、两个重要极限

极限存在准则

极限存在准则

• 极限存在【准则1】夹逼准则（数列）：$如果数列\{x_n\},\{y_n\}及\{z_n\}满足下列条件：\\ （1）从某项起，即\exist n_0\in N_+，当n>n_0时，有y_n\leq x_n\leq z_n\\ （2）\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=a,\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=a\\ 那么数列\{x_n\}的极限存在，且\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$

• 极限存在【准则1变形】夹逼准则（函数）：$如果（1）当x\in \overset oU(x_0,r)（或|x|>M）时，g(x)\leq f(x)\leq h(x)\\ ~ ~ ~ ~ ~ ~（2）\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}g(x)=A，\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}h(x)=A\\ 那么\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}f(x)存在，且等于A$

• 极限存在【准则2】单调有界（数列）：单调有界数列必有极限

  ^（【单调有界】是数列收敛的充分条件，其中有界是必要条件）

• 极限存在【准则2变形】单调有界（函数）：$如果数列设函数f(x)在点x_0的某个左领域内单调并且有界，则f(x)在x_0的左极限f(x_0^-)必定存在$

• 极限存在【柯西（Cauchy）极限存在准则】别名柯西审敛原理：$数列\{x_n\}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的整数\varepsilon，存在正整数N，\\ 使得当m>N,n>N时，有|x_n-x_m|<\varepsilon$

  ==^（【柯西审敛】则是数列收敛的充分必要条件）==和“数列极限的定义”很像，主要区别在于描述中没有“A”，审敛不关心极限为几

准则应用

• 夹逼准则：常用于证明某极限为几

• 单调有界（/柯西存在准则）：常用于证明某极限存在

两个重要极限

两个重要极限（后面等价无穷小会具体讲）

• $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}x=1$
• $\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}x)^x=e$

证明过程

准则证明

• 夹逼准则：见书
• 准则2：书无证
• 柯西审敛：书只证必要性没证充分性

重要极限证明

• $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}x=1$

  • 证明：用面积夹逼

    

• $\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}x)^x=e$

  • 证明：（书上只证了极限存在而没证极限为e。另：很多函数的极限都是e，e这个超越数真的是非常amazing）

    $\begin{aligned} x_n&=(1+\frac 1n)^n\\ &=1+\frac n{1!}\cdot\frac 1n+\cdots&牛顿二项公式\\ &=\cdots（略）\\~\\ &然后证出x_n<x_{n+1}，即单调增加\\ &放缩证得数列有界 \end{aligned}$

  • 补充

    $ \begin{aligned} &牛顿二项公式：就是二项式定理的别名\ &(a+b)^n= {\color{red}C_n^0} \cdot {\color{blue}a^nb0}+ {\color{red}C_n^1} \cdot {\color{blue}a^{n-1}b1}+ \cdots+ {\color{red}C_n^{n-1}} \cdot {\color{blue}a^1b{n-1}}+ {\color{red}C_n^{n}} \cdot {\color{blue}a^0bn}\~\ &其中\ &C_n^k=\frac {A_n^k}{A_kk}=\frac {A_n^k}{k!}\ &A_n^k=\underset{k个}{\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}} \end{aligned} $

题型 - 证明极限存在（自增）

证明题（证明收敛）

• 略

无穷小的比较

定义

$\lim\frac\beta\alpha的值$	说明	记作	补充 / 举例
$=0$	$\beta是比\alpha{\color{red}高阶}的无穷小$	$\beta=o(\alpha)$	$例：3x^3比4x^2高阶$
$=\infty$	$\beta是比\alpha{\color{red}低阶}的无穷小$		$例：3x^1比4x^2低阶$
$=c\neq0$	$\beta是与\alpha{\color{red}同阶}的无穷小$		$例：3x^2和4x^2同阶$
$=1$	$\beta是与\alpha{\color{red}等价}的无穷小$	$\beta\sim\alpha$	$例：3x^2和3x^2等阶，等价\subset同阶$
$\lim\frac\beta{\alpha^k}=c\neq0$	$\beta是关于\alpha的{\color{red}k阶}的无穷小$		$例：3x^3是4x^2的\frac32阶$

定理

等价无穷小定理

• 等价无穷小【 定理1】$\beta与\alpha是等价无穷小的充分必要条件为\beta=\alpha+o(\alpha)$
• 等价无穷小【定理2】$设\alpha\sim\tilde\alpha，\beta\sim\tilde\beta，且\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}存在， 则\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}\\（说人话：求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可用等价无穷小来代替）$
• 等价无穷小【个人补充】：根据定理1的证明可补充极限运算定理1：$有限个无穷小的和是无穷小（原定理）\\ 大于零等价无穷小的差为高阶无穷小（补充）\\ 非等价同阶无穷小的差为同阶无穷小（补充）$

等价无穷小（自增，常用，要背）

（该自增章节乃吾呕心沥血之记，都自己画的图）

$这里的几阶无穷小是指是f(x)=x在x\rightarrow 0时，关于\lim_{x\rightarrow 0}f(x)的几阶无穷小$

（特殊）$0^\infty$

（特殊，另记）

$（x+1）^\frac1x \sim e$

典型的$0^\infty$，用对指法+洛必达也可以得到相同的结果

一阶

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）：$\sin x\sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim e^x-1 \sim\ln(1+x)\sim x $

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）放缩顺序：$右极限：{\color{green}e^x-1}> {\color{blue}\tan x}> {\color{Red}\arcsin x}> x> {\color{Red}\sin x}> {\color{blue}\arctan x}> {\color{green}\ln(1+x)}\gg 0\\ 左极限：{\color{magenta}\ln(1+x)}< {\color{blue}\tan x}< {\color{Red}\arcsin x}< x< {\color{Red}\sin x}< {\color{blue}\arctan x}< {\color{magenta}e^x-1}\ll 0$

^（图记、图像理解）

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）凹凸函数性质补充：$凸函数：~2\sin \frac x2>\sin x，~2\arctan\frac x2>\arctan x，~2\ln(1+\frac x2)>\ln(1+x)\\ 凹函数：~2\tan\frac x2<\tan x，~2\arcsin\frac x2<\arcsin x，~2(e^\frac e2-1)<e^x-1$

^（不记、自行画图理解）这个是个人补充的，书上当前章节没有也几乎不用，可忽略

【一阶等价无穷小】（一阶导为k）：$\begin{aligned} e^x-1&\sim x\\ a^x-1&\sim x\ln x\\~\\ (x+1)^n-1 &\sim nx\\ \sqrt[n]{x+1}-1&\sim \frac{1}{n}x（不记） \end{aligned}$

【一阶等价无穷小】（一阶导为1）的图像理解、与表示意义

• 几何意义：单位圆夹逼
• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶导数相等（1或n）、二阶导数不相等
• 误差：关于$x$的高阶无穷小（$o(x)$）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

（注：函数图中，$e^x-1$和$\ln(1+x)$不以$f(x)=-x$对称）

二阶

【二阶无穷小】：$1-\cos x\sim\sec x-1\sim x-In(1+x)\sim e^x-1-x\sim \frac12 x^2$

【二阶无穷小】缩放顺序：$右极限：{\color{green}e^x-1-x}>\sec x-1>\frac{x^2}2>1-\cos x>{\color{green}x-\ln(1+x)}\gg0\\ 左极限：{\color{magenta}x-\ln(1+x)}>\sec x-1>\frac{x^2}2>1-\cos x>{\color{magenta}e^x-1-x}\gg0$

^（图记、两侧可用一阶无穷小的函数图像理解）

【二阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶、二阶导数分别相等（1或n）、三阶导数不相等
• 误差：关于$x^2$的高阶无穷小（$o(x^2)$）
• 组合意义：有两个是由一阶无穷小相减得来的，可以用一阶无穷小的函数图像来记。如：上面缩放顺序中的绿色或洋红字体 （补充：等价无穷小的的差为高阶无穷小）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

（注：函数图中，$\sec(x)-1$与$e^x-1-x$在$x>0$处有相交，接近零点处前者更小）

三阶

【三阶无穷小】：两组同阶不等价无穷小：\begin{align} \tan x-x\sim\frac13&x^3\sim x-\arctan x\\ \arcsin x-x\sim\frac16&x^3\sim x-\sin x\\ x\cdot \frac12x^2=\frac{1}{2}&x^3\sim\sin x(\sec x-1)=\tan x-\sin x \end{align}

【三阶无穷小】缩放顺序：$左极限：{\color{blue}\tan x-x}>\frac{x^3}3>{\color{blue}x-\arctan x}\gg{\color{red}\arcsin x-x}>\frac{x^3}6>{\color{red}x-\sin x}\gg0\\ 右极限：{\color{blue}\tan x-x}<\frac{x^3}3<{\color{blue}x-\arctan x}\ll{\color{red}\arcsin x-x}<\frac{x^3}6<{\color{red}x-\sin x}\ll0（相反，图像均中心对称）$

^（图记、可用一阶无穷小的函数图像理解）

【三阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶、二阶、三阶导数分别相等（1或n）、四阶导数不相等
• 误差：关于$x^3$的高阶无穷小（$o(x^3)$）
• 组合意义：有四是由一阶无穷小相减得来的，如：上面缩放顺序中的蓝色和红色字体 （补充：等价无穷小的的差为高阶无穷小）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

n阶（/ 题型）

【三阶无穷小】理解

• 函数意义：函数值相等（过零点或某点）、且该点一阶~n阶导数分别相等（1或n）、$n+1$阶导数不相等
• 误差：关于$x^n$的高阶无穷小（$o(x^n)$）
• 其他意义：实质都是泰勒展开，且为是在x=0处的麦克劳林展开。无论是几阶无穷小都是这样

【n阶无穷小】

$(1+ax^b)^c-1\sim c\cdot ax^b$，$方法：利用x\sim\ln(1+x)来回变换\\ \begin{aligned} 通解：(1+ax^b)^c-1&\sim\ln(1+(1+ax^b)^c-1)\\ &=c\cdot\ln((1+ax^b))\\ &\sim c\cdot ax^b \end{aligned}\\ 举例：(1+x^2)^\frac 13-1\sim\frac13x^2$

$(1+ax^b)^c-1\sim c\cdot ax^b$，$方法2：指数对数法，并使用e^-1\sim x\sim\ln(1+x)两个等价无穷小公式\\ \begin{aligned} 通解：(1+ax^b)^c-1&=e^{c\ln(1+ax^b)}-1\\ &\sim c\cdot\ln(1+ax^b)\\ &\sim c\cdot ax^b \end{aligned}$

无限阶（自增）

个人觉得：0满足无穷阶无穷小的条件，存在或比无穷阶无穷小还小

其误差：关于$x^\infty的高阶无穷小$，即误差为真正的0

题型 - 求极值题（自增）

求值题（化简方法）

• 利用等价无穷小公式一通化简，但有的需要变通：如上面的等价无穷小——n阶所使用的方法

函数的连续性与间断点

• 增量定义

  • $设变量u从它的一个初值u_1变到终值u_2，终值与初值的差u_2-u_1就叫变量u的增量，记作\Delta u，即\Delta u=u_2-u_1$

• 连续性定义（有不同的定义，定义2较为简单明了）

  • 定义1：$设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义，如果\\ \lim_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=\lim_{\Delta x\rightarrow0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，\\ 那么就称函数y=f(x)为在点x_0连续$

  • 定义2：$设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义，如果\\ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)，\\ 那么就称函数y=f(x)为在点x_0连续$

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

• 概念

  • 左连续、右连续

• 连续点和间断点

  • 连续点
  • 间断点
    • 第一类间断点（左和右极限都存在）
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点（左或右极限不存在）
      • 无穷间断点，如：$\lim_{x\rightarrow\frac\pi2}\tan x=\infty$
      • 振荡间断点，如：$lim_{x\rightarrow0}\sin \frac1x$

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数运算与初等函数连续性

• 连续函数【定理1】差积商的连续性：$设函数f(x)和g(x)在点x_0连续，\\则它们的和（差）f\pm g、积f\cdot g及商\frac fg（g(x_0)\neq0）都在点x_0连续$

• 连续函数【定理2】反函数连续性：$设函数y(x)在区间I_x上单调增加（或减少）且连续，\\ 则反函数x=f^{-1}(y)也在对应的区间I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}上单调增加（或减少）且连续$

• 连续函数【定理3】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]由函数u=f(x)与函数y=f(u)复合而成，\overset oU(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=f(u_0)$

• 连续函数【定理4】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，U(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若函数u=g(x)在x=x_0连续，且g(x_0)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则复合函数y=f[g(x)]在x=x_0也连续$

  ^（话说连续函数定理3、4不就是前面的极限运算定理6根据连续性的定义2的同义说法吗，特意强调一次？）

• 连续函数【None】初等函数连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的​（补充：注意是“定义域内”，tan函数等也算在里）

闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质

• 闭区间连续函数【定理1】有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数 在该区间上有界 且一定能取得它的最大值和最小值
• 闭区间连续函数【定理2】零点定理（低配版介值定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)\cdot f(b)<0），\\ 则在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=0$
• 闭区间连续函数【定理3】介值定理（高配版零点定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，区间端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，\\ 对于A与B之间任意一个数C，\\ 在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=C$
• 闭区间连续函数【定理3推论】：$在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值$
• 闭区间连续函数【定理4】一致连续性定理：$如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续$

一致连续性定义

• $设函数f(x)在区间I上有定义.如果对于任意给定的整数\varepsilon，总存在正数\delta，\\ 使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon，\\ 那么称函数f(x)在区间I上一致连续$

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)一致连续\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0，\exist\delta>0，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

总结章（个人总结）

总结章

符号总结（课本）

捋下符号

• 这里的符号$\varepsilon$用于表示一个极小的数（不论有多小），而$M$用于表示一个极大的数（不论有多大）

• 而$N、\delta、X$都是用来表示x的位置，符号不同仅仅是为了区分这些位置的范围（很操蛋，还不如都用相同的符号来表示）

  • $N$是非常大的正整数，$\varepsilon$越小$N$对应的位置就越大
  • $\delta$是非常接近于$x_0$的有限实数，$\varepsilon$越小$\delta$对应的位置就越接近$x_0$
  • $X$是非常大的正实数，$\varepsilon$越小的$X$对应的|x|的位置就越大

定理总结（课本）

（这章自己加的，其实就是把前面的定理们复制过来而已）

基本初等函数

• 【幂函数】$y=x^\mu（\mu\in R）$
• 【指数函数】$y=a^x（a>0且a\neq1）$
• 【对数函数】$y=long_ax（a>0且a\neq1。特别当a=e时，记为y=In~x）$
• 【三角函数】$y=\sin x,~y=\cos x,~y=\tan x等$
• 【反三角函数】$y=\arcsin x,~y=\arccos x,~y=\arctan x等$

双曲函数与反双曲函数

• 【双曲正弦】$sh~x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
• 【双曲余弦】$ch~x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
• 【双曲正切】$th~x=\frac{sh~x}{ch~x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
• 【反双曲正弦】$y=arsh~x=In(x+\sqrt{x^2+1})$
• 【反双曲余弦】$y=arch~x=In(x+\sqrt{x^2-1})$
• 【反双曲正切】$y=arth~x=\frac12In\frac{1+x}{1-x}$

收敛数列性质

• 收敛数列【定理1】极限的唯一性：数列收敛，则极限唯一
• 收敛数列【定理2】收敛数列有界性：数列收敛，则数列有界（反之不行）
• 收敛数列【定理3】收敛数列（局部）保号性：数列收敛，且极限>0（或<0），则$\exist N，当n>N时，都有x_n>0（或<0）$
• 收敛数列【定理4】收敛数列与其子数列间关系：数列收敛于a，则其任一子数列也收敛于a（发散数列可能有收敛子数列）

函数极限性质

• 函数极限【定理1】函数极限的唯一性：$极限存在，则该极限唯一$

• 函数极限【定理2】函数极限的局部有界性：$极限存在，则存在常数M和\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)|\leq M$

• 函数极限【定理3】函数极限的局部保号性：$极限存在，且极限>0（或<0），则\exist常数\delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有f(x)>0（或<0）$

• 函数极限【定理3变形】：$如果lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A(A\neq0)，那么就存在着x_0的某一去心邻域\overset oU(x_0)，当x\in \overset oU(x_0)时，就有|f(x)|>\frac{|A|}2$

• 函数极限【定理3推论】：$如果在x_0的某去心邻域内f(x)\geq0（或f(x)\leq0），而且\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，那么A\geq0（或A\leq0）$

• 函数极限【定理4】函数极限与数列极限的关系：$lim_{x\rightarrow x_0}f(x)极限存在，\{x_n\}为函数定义域内任一收敛于x_0的数列，且满足x_n\neq x_0(n\in N_+).\\ 那么相应的数值数列\{f(x_n)\}必收敛，且lim_{x\rightarrow\infty}f(x_n)=lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$

无穷小性质

• 无穷小【定理1】$在自变量的同一变化过程x\rightarrow x_0（或x\rightarrow\infty）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha，其中\alpha是无穷小$

无穷大性质

• 无穷大【定理1】$在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则\frac1{f(x)}为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)\neq0，则\frac1{f(x)}为无穷大$

极限运算法则定理

• **极限运算【定理1】**两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和也是无穷小

• **极限运算【定理2】**有界函数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论1】**常数与无穷小的乘积是无穷小

• **极限运算【定理2推论2】**有限个无穷小的乘积是无穷小

• 极限运算【定理3】$如果\lim f(x)=A，\lim g(x)=B，那么\\ （1）\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B\\ （2）\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B\\ （3）\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac AB（其中B\neq0）$

• 极限运算【定理3推论1】$如果\lim(x)存在，而c为常数，那么\lim[cf(x)]=c\lim f(x)$

• 极限运算【定理3推论2】$如果\lim(x)存在，而n是正整数，那么\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$

• 极限运算【定理4】$设有数列\{x_n\}和\{y_n\}.如果\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A、\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=B，那么\\ （1）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B\\ （2）\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B\\ （3）\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB（其中y_n\neq0(n=1,2,\cdots)且B\neq0）$

• 极限运算【定理5】$如果\varphi(x)\geq\psi(x)，而\lim\varphi(x)=A，\lim\psi(x)=B，那么A\geq B$

• 极限运算【定理6】复合函数的极限运算法则：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x_0的某去心邻域内有定义.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A，且存在\delta_0>0，当x\in\overset oU(x_0,\delta_0)时，有g(x)\neq u_0，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A$

极限存在准则

• 极限存在【准则1】夹逼准则（数列）：$如果数列\{x_n\},\{y_n\}及\{z_n\}满足下列条件：\\ （1）从某项起，即\exist n_0\in N_+，当n>n_0时，有y_n\leq x_n\leq z_n\\ （2）\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=a,\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=a\\ 那么数列\{x_n\}的极限存在，且\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$

• 极限存在【准则1变形】夹逼准则（函数）：$如果（1）当x\in \overset oU(x_0,r)（或|x|>M）时，g(x)\leq f(x)\leq h(x)\\ ~ ~ ~ ~ ~ ~（2）\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}g(x)=A，\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}h(x)=A\\ 那么\lim_{x\rightarrow x_0（或\infty）}f(x)存在，且等于A$

• 极限存在【准则2】单调有界（数列）：单调有界数列必有极限

  ^（【单调有界】是数列收敛的充分条件，其中有界是必要条件）

• 极限存在【准则2变形】单调有界（函数）：$如果数列设函数f(x)在点x_0的某个左领域内单调并且有界，则f(x)在x_0的左极限f(x_0^-)必定存在$

• 极限存在【柯西（Cauchy）极限存在准则】别名柯西审敛原理：$数列\{x_n\}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的整数\varepsilon，存在正整数N，\\ 使得当m>N,n>N时，有|x_n-x_m|<\varepsilon$

  ==^（【柯西审敛】则是数列收敛的充分必要条件）==和“数列极限的定义”很像，主要区别在于描述中没有“A”，审敛不关心极限为几

等价无穷小定理

• 等价无穷小【 定理1】$\beta与\alpha是等价无穷小的充分必要条件为\beta=\alpha+o(\alpha)$

• 等价无穷小【定理2】$设\alpha\sim\tilde\alpha，\beta\sim\tilde\beta，且\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}存在， 则\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}\\（说人话：求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可用等价无穷小来代替）$

  等价无穷小【个人补充】：根据定理1的证明可补充极限运算定理1：$有限个无穷小的和是无穷小（原定理）\\ 大于零等价无穷小的差为高阶无穷小（补充）\\ 非等价同阶无穷小的差为同阶无穷小（补充）$

等价无穷小

• 等价无穷小（自增，常用，要背）：自己往上面翻去或点击跳转

连续函数运算、与初等函数连续性

• 连续函数【定理1】差积商的连续性：$设函数f(x)和g(x)在点x_0连续，\\则它们的和（差）f\pm g、积f\cdot g及商\frac fg（g(x_0)\neq0）都在点x_0连续$

• 连续函数【定理2】反函数连续性：$设函数y(x)在区间I_x上单调增加（或减少）且连续，\\ 则反函数x=f^{-1}(y)也在对应的区间I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}上单调增加（或减少）且连续$

• 连续函数【定理3】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]由函数u=f(x)与函数y=f(u)复合而成，\overset oU(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=f(u_0)$

• 连续函数【定理4】复合函数连续性：$设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，U(x_0)\sub D_{fog}.\\ 若函数u=g(x)在x=x_0连续，且g(x_0)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，\\ 则复合函数y=f[g(x)]在x=x_0也连续$

  ^（话说连续函数定理3、4不就是前面的极限运算定理6根据连续性的定义2的同义说法吗，特意强调一次？）

• 连续函数【None】初等函数连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的​（补充：注意是“定义域内”，tan函数等也算在里）

闭区间连续函数的性质

• 闭区间连续函数【定理1】有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数 在该区间上有界 且一定能取得它的最大值和最小值
• 闭区间连续函数【定理2】零点定理（低配版介值定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)\cdot f(b)<0），\\ 则在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=0$
• 闭区间连续函数【定理3】介值定理（高配版零点定理）：$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，区间端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，\\ 对于A与B之间任意一个数C，\\ 在开区间(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使f(\xi)=C$
• 闭区间连续函数【定理3推论】：$在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值$
• 闭区间连续函数【定理4】一致连续性定理：$如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续$

比较总结（自增）

数列极限、函数极限

• 数列极限和函数极限区别和共同点
  • 表面区别是一个连续一个不连续
  • 根本区别是函数的极限多一种情形（自变量趋于某有限值时），而数列的极限只能无穷远处

一致连续性、连续性、可导

两者的定义区别（仅比较定义表述）

• 一致连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)一致连续\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0，\exist\delta>0，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$

• 连续性定义

  • 定义表述：$（“\varepsilon-\delta”语言）$

    $$f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

连续性和一致连续性的区别

• 在闭区间没有区别：根据定理4（一致连续性定理），闭区间连续则为一致连续
• 在开区间时有区别：（图像区别比较好理解）
  • 范围不同：一致连续是整体性质，连续是点的局部性质，从定义可见得
  • 包含关系：$一致连续\sub 连续\Leftarrow可导$
  • 图像区别：一致连续的函数图像不存在上升或下降坡度无限变陡的情况，连续却可以
  • 反例（函数连续但不一致连续）：如：$y=\frac1x$、$y=x^2（x\in[0,\infty]）$等等

题型总结（自增）

见各章尾部自增章节

• [题型 - 证明极限是A（自增）](#题型 - 证明极限是A（自增）)
• [题型 - 求极值题（自增）](#题型 - 求极值题（自增）)
• [题型 - 证明极限存在（自增）](#题型 - 证明极限存在（自增）)
• [题型 - 求极值题（自增）](#题型 - 求极值题（自增）)

常见形式（自增）

见等价无穷小

• 等价无穷小（自增，常用，要背）