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《高等数学》

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《高等数学》

目录

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不定积分

不定积分的概念与性质

不定积分

  • 定义
    • 定义1：如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x∈I，都有F′(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的一个原函数如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x\in I，都有\\ F'(x)=f(x)~或~dF(x)=f(x)dx，\\ 那么函数F(x)就称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的一个原函数
    • 定义2：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx其中记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，\\ 记作\int f(x)dx\\ 其中记号\int 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量
    • 即是：~\\\begin{align} [F(x)+C~]'&=f(x)&&（导数形式）\\ d[F(x)+C~]~&=f(x)dx&&（微分形式）\\ F(x)+C~~~&=\int f(x)dx&&（积分形式） \end{align}
  • 概念
    • 积分曲线（原函数曲线）
  • 定理
    • 【原函数存在定理】：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F′(x)=f(x)简单来说就是：连续函数一定有原函数如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x\in I都有F'(x)=f(x)\\ 简单来说就是：连续函数一定有原函数

求积分

基本积分表（导数表的反操作，要背）

  • 积分表【1】常量 / 幂函数类

    • ∫kdx=kx+C（k是常数）\int kdx=kx+C（k是常数）
    • ∫xμdx=xμ+1μ+1+C（μ≠−1）\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C（\mu\neq-1）

  • 积分表【2】三角与反三角类（右下角三条不用记，可以用左下角三条代替）

    • \begin{align} \int\cos xdx&=\sin x+C&\int\sin xdx&={\color{red}-}\cos x+C\\ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2xdx&=\tan x+C&\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2xdx&={\color{red}-}\cot x+C\\ \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C&\int\csc x\cot xdx&={\color{red}-}\csc x+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C&\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&={\color{red}-}\arccos x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C&\int\frac{dx}{1+x^2}&={\color{red}-}arccot x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&=arcsec x+C&\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&={\color{red}-}arccsc x+C{\color{blue}（不记）} \end{align}

  • 积分表【3】对数指数类

    • \begin{align} \int e^xdx&=e^x+C&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int\frac{dx}{x}&=\ln{\color{red}|x|}+C{\color{blue}（注意绝对值）} \end{align}

扩展积分表

  • 扩展积分表【1】三角函数类

    • ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\begin{aligned} \int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C&\int\cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\ \int\sec xdx&=\ln|\sec x+\tan x|+C&\int\csc xdx&=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

  • 扩展积分表【2】倒数类（可配合有理分式使用）

    • ∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C&\int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

  • 扩展积分表【3】双曲函数类

    • ∫sh xdx=ch x+C∫ch xdx=sh x+C\begin{aligned} \int sh~xdx&=ch~x+C&\int ch~xdx&=sh~x+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明1

    • ∫csc⁡xdx=∫dxsin⁡x=∫dx2sin⁡x2cos⁡x2=∫dx2tan⁡x2cos⁡2x2=∫dtan⁡x2tan⁡x2=ln⁡∣tan⁡x2∣+C=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C \begin{aligned} \int\csc xdx&=\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{d\frac{x}2}{\sin\frac x2\cos\frac x2}\\ &=\int\frac{d\frac x2}{\tan \frac x2\cos^2 \frac x2}=\int\frac{d\tan \frac x2}{\tan \frac x2}\\ &=\ln|\tan\frac x2|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

    • ∫sec⁡xdx=∫csc⁡(x+π2)d(x+π2)=ln⁡∣csc⁡(x+π2)−cot⁡(x+π2)∣+C=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C \begin{aligned} \int \sec xdx&=\int\csc(x+\frac \pi 2)d(x+\frac \pi 2)\\ &=\ln|\csc(x+\frac\pi2)-\cot(x+\frac\pi2)|+C\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明2

    • ∫dxa2+x2=1a∫dxa1+(xa)2=1aarctan⁡xa+C本质是∫dx1+x2=arctan⁡x+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\int\frac{d\frac xa}{1+(\frac xa)^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C的扩展 \end{aligned}

    • ∫dxa2−x2=∫dxa1−(xa)2=arcsin⁡xa+C本质是∫dx1−x2=arcsin⁡x+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{d\frac xa}{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}=\arcsin\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C的扩展 \end{aligned}

    • ∫1x2−a2=12a∫(1x−a−1x+a)dx=12a(ln⁡∣x−a∣−ln⁡∣x+a∣)+C=12aln⁡∣x−ax+a∣+C \begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}&=\frac1{2a}\int(\frac1{\color{red}x-a}-\frac1{\color{blue}x+a})dx\\ &=\frac1{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C\\ &=\frac1{2a}\ln|\frac{\color{red}x-a}{\color{blue}x+a}|+C \end{aligned}

    • ∫a2−x2dx=（令x=asin⁡t）p201 to p202三题都是替换三角函数的方法=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2}dx&=（令x=a\sin t）p201~to ~p202三题都是替换三角函数的方法\\ &=\frac {a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac12 x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{aligned}

    • ∫dxx2+a2=（令x=atan⁡t）=ln⁡(x+x2+a2)+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=（令x=a\tan t）\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}

    • ∫dxx2−a2=（令x=asec⁡t）=ln⁡∣x+x2−a2∣+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=（令x=a\sec t）\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

不定积分性质

  • 不定积分性质【和】：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则\\ \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx

  • 不定积分性质【常数积】：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫kf(x)dx=k∫f(x)dx设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx

换元积分法和分部积分法（不定积分）

（利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分非常有限。所以利用求导法则进行推演）

（利用复合函数求导推演的为：换元积分法，简称换元法。利用函数乘积求导推演的为：分部积分法）

  • 第一类换元法【复合函数】：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式[∫f(u)du]u=φ(x)=∫f[φ(x)]φ′(x)dx设f(u)具有原函数，u=\varphi(x)可导，则有换元公式\\ [\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx

    （不记：本质是符号变法d[F(x)+C]=f(x)dx，比如：φ′(x)dx=dud[F(x)+C]=f(x)dx，比如：\varphi'(x)dx=du）

    （一般是设u=f(x)u=f(x)）

  • 第二类换元法【参数函数】：设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)其中ψ−1(x)是x=ψ(t)的反函数设x=\psi(t)是单调的可导函数，并且\psi'(t)\neq0，又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数，则有换元公式\\ \int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\\ 其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数

    （同第一类换元法）

    （一般是令x=f(t)x=f(t)）

  • 分部积分公式：∫uv′dx=uv−∫vu′dx，其中(uv)′=u′v+uv′∫udv=uv−∫vdu\int uv'dx=uv-\int vu'dx，其中(uv)'=u'v+uv'\\ \int udv=uv-\int vdu

    （使用注意：∫vdu\int vdu要更易积出、vv要容易求得）

积分法总结（自增）

  • 符号变法：（也对应换元法）\\ \begin{align} [F(x)+C~]'&=f(x)&&（导数形式）\\ d[F(x)+C~]~&=f(x)dx&&（微分形式）\\ F(x)+C~~~&=\int f(x)dx&&（积分形式） \end{align}
  • dx 变化：（对应换元积分法和分部积分法）（对应换元积分法和分部积分法）

有理函数的积分（技巧章）

  • 定义
    • 两个多项式的商P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}称为有理函数，又称有理分式
  • 概念
    • 真分式（分子次数小于分母）、假分式（分子次数不小于分母）
    • 真分式化为部分分式之和
  • 章节
    • 有理函数的积分
    • 可化为有理函数的积分举例

积分表的使用

（书本末附表4有积分表，以供查阅）

（其中积分表还有递推公式）

总结（自增）

总结（自增）

概念总结

基本积分表（导数表的反操作，要背）

  • 积分表【1】常量 / 幂函数类
    • ∫kdx=kx+C（k是常数）\int kdx=kx+C（k是常数）
    • ∫xμdx=xμ+1μ+1+C（μ≠−1）\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C（\mu\neq-1）
  • 积分表【2】三角与反三角类（右下角三条不用记，可以用左下角三条代替）
    • \begin{align} \int\cos xdx&=\sin x+C&\int\sin xdx&={\color{red}-}\cos x+C\\ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2xdx&=\tan x+C&\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2xdx&={\color{red}-}\cot x+C\\ \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C&\int\csc x\cot xdx&={\color{red}-}\csc x+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C&\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&={\color{red}-}\arccos x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C&\int\frac{dx}{1+x^2}&={\color{red}-}arccot x+C{\color{blue}（不记）}\\ \int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&=arcsec x+C&\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&={\color{red}-}arccsc x+C{\color{blue}（不记）} \end{align}
  • 积分表【3】对数指数类
    • \begin{align} \int e^xdx&=e^x+C&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int\frac{dx}{x}&=\ln{\color{red}|x|}+C{\color{blue}（注意绝对值）} \end{align}

扩展积分表

  • 扩展积分表【1】三角函数类

    • ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\begin{aligned} \int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C&\int\cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\ \int\sec xdx&=\ln|\sec x+\tan x|+C&\int\csc xdx&=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

  • 扩展积分表【2】倒数类（可配合有理分式使用）

    • ∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C&\int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

  • 扩展积分表【3】双曲函数类

    • ∫sh xdx=ch x+C∫ch xdx=sh x+C\begin{aligned} \int sh~xdx&=ch~x+C&\int ch~xdx&=sh~x+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明1

    • ∫csc⁡xdx=∫dxsin⁡x=∫dx2sin⁡x2cos⁡x2=∫dx2tan⁡x2cos⁡2x2=∫dtan⁡x2tan⁡x2=ln⁡∣tan⁡x2∣+C=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C \begin{aligned} \int\csc xdx&=\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{d\frac{x}2}{\sin\frac x2\cos\frac x2}\\ &=\int\frac{d\frac x2}{\tan \frac x2\cos^2 \frac x2}=\int\frac{d\tan \frac x2}{\tan \frac x2}\\ &=\ln|\tan\frac x2|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

    • ∫sec⁡xdx=∫csc⁡(x+π2)d(x+π2)=ln⁡∣csc⁡(x+π2)−cot⁡(x+π2)∣+C=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C \begin{aligned} \int \sec xdx&=\int\csc(x+\frac \pi 2)d(x+\frac \pi 2)\\ &=\ln|\csc(x+\frac\pi2)-\cot(x+\frac\pi2)|+C\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明2

    • ∫dxa2+x2=1a∫dxa1+(xa)2=1aarctan⁡xa+C本质是∫dx1+x2=arctan⁡x+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\int\frac{d\frac xa}{1+(\frac xa)^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C的扩展 \end{aligned}

    • ∫dxa2−x2=∫dxa1−(xa)2=arcsin⁡xa+C本质是∫dx1−x2=arcsin⁡x+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{d\frac xa}{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}=\arcsin\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C的扩展 \end{aligned}

    • ∫1x2−a2=12a∫(1x−a−1x+a)dx=12a(ln⁡∣x−a∣−ln⁡∣x+a∣)+C=12aln⁡∣x−ax+a∣+C \begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}&=\frac1{2a}\int(\frac1{\color{red}x-a}-\frac1{\color{blue}x+a})dx\\ &=\frac1{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C\\ &=\frac1{2a}\ln|\frac{\color{red}x-a}{\color{blue}x+a}|+C \end{aligned}

    • ∫a2−x2dx=（令x=asin⁡t）p201 to p202三题都是替换三角函数的方法=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2}dx&=（令x=a\sin t）p201~to ~p202三题都是替换三角函数的方法\\ &=\frac {a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac12 x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{aligned}

    • ∫dxx2+a2=（令x=atan⁡t）=ln⁡(x+x2+a2)+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=（令x=a\tan t）\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}

    • ∫dxx2−a2=（令x=asec⁡t）=ln⁡∣x+x2−a2∣+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=（令x=a\sec t）\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

不定积分性质

  • 不定积分性质【和】：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则\\ \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx

  • 不定积分性质【常数积】：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫kf(x)dx=k∫f(x)dx设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx

换元积分法和分部积分法（不定积分）

  • 第一类换元法【复合函数】：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式[∫f(u)du]u=φ(x)=∫f[φ(x)]φ′(x)dx设f(u)具有原函数，u=\varphi(x)可导，则有换元公式\\ [\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx

    （不记：本质是符号变法d[F(x)+C]=f(x)dx，比如：φ′(x)dx=dud[F(x)+C]=f(x)dx，比如：\varphi'(x)dx=du）

    （一般是设u=f(x)u=f(x)）

  • 第二类换元法【参数函数】：设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)其中ψ−1(x)是x=ψ(t)的反函数设x=\psi(t)是单调的可导函数，并且\psi'(t)\neq0，又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数，则有换元公式\\ \int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\\ 其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数

    （同第一类换元法）

    （一般是令x=f(t)x=f(t)）

  • 分部积分公式：∫uv′dx=uv−∫vu′dx，其中(uv)′=u′v+uv′∫udv=uv−∫vdu\int uv'dx=uv-\int vu'dx，其中(uv)'=u'v+uv'\\ \int udv=uv-\int vdu

    （使用注意：∫vdu\int vdu要更易积出、vv要容易求得）

题型（还是挺讲技巧的）

换元积分法技巧

  • 和积变化
    • 技巧
      • dx部分可随意增减常数，结果不变
      • dx部分或积分部分可随意乘除常数，积分部分或整体部分乘除该常数的倒数，则结果不变
  • 幂变化
    • 技巧
      • xax^a，积分部分的幂变小多少次，则dx的幂也变大多少次
    • 通用
      • 幂和不变定律（幂为−1时例外）∵∫xn+mdx1=1m+1∫xn(xm+1)′dx=1m+1∫xndx1+m∵∫xndx1+m=∫xn(xm+1)′dx=(m+1)∫xn+mdx∴∫xadxb=k∫xcdxd（a+b=c+d）幂和不变定律（幂为-1时例外）\\ \because\int x^{n+m}dx^1=\frac1{m+1}\int x^n(x^{m+1})'dx=\frac1{m+1}\int x^ndx^{1+m}\\ \because\int x^ndx^{1+m}=\int x^n(x^{m+1})'dx=(m+1)\int x^{n+m}dx\\ \therefore \int x^adx^b=k\int x^cdx^d（a+b=c+d）
    • 举例
      • 幂不变：∫x2(x+2)3dx=∫(u−2)2u3du=∫(u−1−4u−2+4u−3)\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx\\ =\int\frac{(u-2)^2}{u^3}du\\ =\int(u^{-1}-4u^{-2}+4u^{-3})
      • 幂变小一次：∫2xex2dx=∫ex2dx2\int 2xe^{x^2}dx\\ =\int e^{x^2}dx^2\\
      • 幂变小一次：∫x1−x2dx=(−12)∫1−x2d(1−x2)=(−12)∫xdx\int x\sqrt{1-x^2}dx\\ =(-\frac12)\int\sqrt{1-x^2}d(1-x^2)\\ =(-\frac12)\int\sqrt xdx
      • 幂变大1/2：∫e3xxdx=23∫e3xd3x\int\frac{e^{3\sqrt x}}{\sqrt x}dx\\ =\frac23\int e^{3\sqrt x}d3\sqrt x

题型——积分题（非常考验对题型的熟练度和敏感度）

  • 积分部分为多项式 - 幂
    • 如上幂变化
  • 三角函数积分题（纯三角函数）（很考验三角函数的性质熟练度）
    • 总技巧：一般情况下都是都x积分，需要考虑把dx换成哪种三角函数，dx可以是sin⁡、cos⁡、tan⁡、sec⁡\sin、\cos、\tan、\sec等的任意一种
      • sin⁡\sin或cos⁡\cos情况
        • 三角函数的幂数为1
          • 方法：可代扩展积分表。但要证的化一般通过二倍角变换
          • 举例：∫csc⁡xdx\int \csc xdx
        • 三角函数的幂数为奇数、且数量>2
          • 方法：把其中一个分离到dx后，积分部分的同名幂为偶数，这意味着他们可以变成另一个函数名，最终实现消元
          • 举例：∫sin⁡3xdx=∫(1−cos⁡2x)dcos⁡x、∫sin⁡2xcos⁡5xdx\int \sin^3xdx=\int(1-\cos^2x)d\cos x、\int\sin^2x \cos^5xdx
        • 三角函数的幂数为偶数、且同名三角函数的幂也为偶数
          • 方法：二倍角变换
          • 举例：∫cos⁡2xdx、∫sin⁡2xcos⁡4xdx\int \cos^2xdx、\int \sin^2 x\cos^4xdx
      • sec⁡\sec或csc⁡\csc情况
        • 三角函数的幂>3
          • 方法：把两个拆出来，分离到dx中
      • tan⁡\tan情况
        • 方法：拆开来看
        • 举例：∫tan⁡xdx=∫1cos⁡xd(cos⁡x)\int\tan xdx=\int\frac{1}{\cos x}d(\cos x)
      • 其他情况
        • 方法：万能方法：和差化积
        • 举例：∫cos⁡3xcos⁡2xdx\int\cos3x\cos 2xdx
    • 成组技巧
      • 有的三角函数组合可看成一个整体，而不能拆开看
        • 如：tan⁡2x、cot⁡2x、sin⁡2x、cos⁡2x、1−sec⁡2、1−csc⁡2、1−sin⁡2、1−cos⁡2\tan^2x、\cot^2x、\sin^2x、\cos^2 x、1-\sec^2、1-\csc^2、1-\sin^2、1-\cos^2
        • 实战：∫tan⁡2xdx\int\tan^2xdx，将tan⁡2x→sec⁡2x−1\tan^2x\rightarrow \sec^2x-1再积分
    • 但也并不是所有情况都要把dx换成三角函数，有的简单的就不用
      • 举例：∫cos⁡2xdx\int \cos^2xdx

分部积分法技巧与举例

技巧：乘因子性质判别法：

乘因子有两种：一种易于积分和微分，具有滚雪球特性。一种易于求导却难以积分

  • 前者通过换元积分法把自己放到dx部分，然后再对整体使用分部积分法。以对其他乘因子进行求导简化操作
    • 这种乘因子（这里介绍的顺序是带排名的，应优先把前面的换元为微分部分）
      • 指数函数exe^x，举例：∫xexdx=xex−∫exdx\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx
      • 三角函数sin⁡、cos⁡、sec⁡、csc⁡\sin、\cos、\sec、\csc，举例：∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫sin⁡xdx\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx
      • 幂函数xnx^n
    • 有时可能需要替换多次，然后找规律
      • 举例：∫exsin⁡xdx=exsin⁡x−∫excos⁡xdx=exsin⁡x−excos⁡x−∫exsin⁡xdx\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx = e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx
      • 举例：∫sec⁡3xdx\int \sec^3xdx
  • 后者通过换元积分法把其他乘因子放到dx部分，然后再对整体使用分部积分法。以对这个部分进行求导简化操作
    • 这种乘因子
      • 对数函数ln⁡x\ln x