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《高等数学》

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《高等数学》

目录

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微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

微分中值定理(图像理解,与闭区间连续函数性质(零点定理和介值定理)有异曲同工之妙)

  • 中值定理【费马引理】
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的xU(x0),有f(x)f(x0)      (或f(x)f(x0那么f(x0)=0设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义,并且在x_0处可导,如果对任意的x\in U(x_0),有\\ f(x)\leq f(x_0)~~ ~~ ~~(或f(x)\geq f(x_0)\\ 那么f'(x_0)=0
  • 中值定理【罗尔定理】:(下位定理,画图理解)
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξaξb),使得f(ξ)=0如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi(a\leq\xi\leq b),使得f'(\xi)=0
  • 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理:(画图理解,高中也可以提前用)
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξa<ξ<b),使等式f(b)f(a)ba=f(ξ)成立如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi(a<\xi<b),使等式\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)φ(x)=f(x)f(b)f(a)ba(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)\\ 或\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理:(能用于准确描述Δx\Delta x的增量,后面泰勒展开的拉氏余项会用到)
    • Δy=f(x+θΔx)Δx0<θ<1)(还是当曲线,有限增值公式)     =f(x)Δx+o(Δx)(微分线段看成直线)\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x(0<\theta<1)(还是当曲线,有限增值公式)\\ ~~ ~~ ~= f'(x)\cdot\Delta x+o(\Delta x)(微分线段看成直线)
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 导出】:(不废话吗)
    • 如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零
    • 逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数
  • 中值定理【柯西中值定理】:(不能理解为左式分数上下同除以bab-a,因为不能确保右式的ξ\xi是同一值,两端的端点也不同)
    • 如果函数f(x)F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x(a,b)F(x)0那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式f(b)f(a)F(b)F(a)=f(ξ)F(ξ)成立如果函数f(x)几F(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~对任一x\in (a,b),F'(x)\neq0\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi,使等式\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)f(b)f(a)F(b)F(a)F(x),两端相等,符合罗尔定理证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x),两端相等,符合罗尔定理

其他

  • 推导:费马引理罗尔定理拉格朗日中值定理费马引理\Rightarrow 罗尔定理\Rightarrow 拉格朗日中值定理
  • 吐槽:这和微分有什么关系,其他明明是导数中值定理(除了有限增值定理能用于准确描述Δx\Delta x的增量外)

概念

  • 驻点、稳定点、临界点:通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)

洛必达法则

(我觉得这章应该在导数一章的求导法则里出现才对)

洛必达法则(高中可学可用,易错注意:结果存在才能用

  • 洛必达法则【定理1】(1) 当xa时,函数f(x)F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内,f(x)F(x)都存在且F(x)0(3) limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)limxaf(x)F(x)=limxaf(x)F(x)设\\(1)~当x\rightarrow a时,函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~在点a的某去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在(或为无穷大)\\ 则\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
  • 洛必达法则【定理2】(1) 当x时,函数f(x)F(x)都趋于零(2) 当x>N时,f(x)F(x)都存在且F(x)0(3) limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)limxf(x)F(x)=limxf(x)F(x)设\\(1)~当x\rightarrow \infty时,函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~当|x|>N时,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在(或为无穷大)\\ 则\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

泰勒公式

内核思想与概念

内核思想

  • 思想:用多项式来近似表达函数
  • 误差:如ex1+xln(1+x)产生的误差仅是关于x的高阶无穷小n阶等价无穷小的意思就是误差为o(xn)e^x\sim 1+x、\ln(1+x)\sim 产生的误差仅是关于x的高阶无穷小\\ n阶等价无穷小的意思就是误差为o(x^n)
  • 提高精度思路:使用更高层次的多项式来逼近函数
  • 构造多项式思路:f(x)x0具有n阶导数,试找出一个关于(xx0)n次多项式pn(x)来近似表达f(x)pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n使得pn(x)f(x)o((xx0)n)设f(x)在x_0具有n阶导数,试找出一个关于(x-x_0)的n次多项式p_n(x)来近似表达f(x)\\ p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\\ 使得|p_n(x)-f(x)|\sim o((x-x_0)^n)

概念

  • 佩亚诺余项Rn(x)=o((xx0)n)R_n(x) = o((x-x_0)^n)
  • 拉格朗日余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

泰勒公式定理

  • 泰勒中值定理【佩亚诺余项】如果函数f(x)x0处具有(n)阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有f(x)=f(x0)+f(x)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((xxo)n)理解原理:右式的k阶导数均=f(k)+o((xx0)k),补充:这里的Rn的表达式是佩亚诺余项如果函数f(x)在x_0处具有{\color{red}(n)}阶导数,那么存在x_0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有\\ f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=o((x-x_o)^n)\\ 理解原理:右式的k阶导数均=f^{(k)}+o((x-x_0)^k),补充:这里的R_n的表达式是佩亚诺余项
  • 泰勒中值定理【 拉氏余项 】如果函数f(x)x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一xU(x0),有f(x)=f(x0)+f(x)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1,(ξx0x之间的某个值)补充:这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项如果函数f(x)在x_0的某个邻域U(x_0)内具有{\color{red}(n+1)}阶导数,那么对任一x\in U(x_0),有\\f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},(\xi是x_0与x之间的某个值)\\ 补充:这里的R_n(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项
  • 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1),佩亚诺余项和拉氏余项f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\\ R_n(x)=o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)},佩亚诺余项和拉氏余项

常用麦克劳林展开

x0x\rightarrow0时

11x=1+x+x2+x3+x4+=n=0xnsinx=xx33!+x55!x77!+x99!=n=1(1)n1x2n1(2n1)!cosx=1x22!+x44!x66!+x88!=n=0(1)n    x2n(2n)! \begin{aligned} \frac1{1-x}&=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n~~~~\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}

导数与图像

函数的单调性与凹凸性(导数与曲线性质、导数几何意义)

(我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”)

  • 概念

    • 驻点、稳定点、临界点:通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)
    • 拐点(凹凸性改变了的点)
  • 函数判定定理(高中内容,凹凸性定义可用于缩放函数)

    • 单调性导数定理设函数y=f(x)[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)f(x)0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)[a,b]上单调增加(2) 如果在(a,b)f(x)0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)[a,b]上单调减少设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导\\ (1)~如果在(a,b)内f'(x)\geq0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加\\ (2)~如果在(a,b)内f'(x)\leq0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
    • 凹凸性定义与性质f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2(1) 恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2,那么称f(x)I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)(2) 恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,那么称f(x)I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x_1,x_2,\\ (1)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)\\ (2)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)\\
    • 凹凸性导数定理f(x)[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1) 若在(a,b)f(x)>0,则f(x)[a,b]上的图形是凹的(1) 若在(a,b)f(x)<0,则f(x)[a,b]上的图形是凸的设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

函数的极值与最大值最小值

(我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”)

极值(区域最值)

  • 定义
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x,有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义,如果对于去心邻域\overset 0U(x_0)内的任一x,有\\ f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0),那么就称f(x_0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)
  • 概念
    • 极值、极值点
    • 目标函数(问题在数学上归结为求某一函数最值的问题)
  • 极值性质(都是废话)
    • 极值定理【必要条件】函数f(x)x0处可导,且在x0处取得极值f(x0)=0函数f(x)在x_0处可导,且在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0
    • 极值定理【充分条件】1设函数f(x)x0处连续,且在x0的某去心邻域Uox0,δ)内可导(1) 若x(x0δ,x0)时,f(x)>0,而x(x0,x0+δ)时,f(x)<0,则f(x)x0处取得极大值(2) 若x(x0δ,x0)时,f(x)<0,而x(x0,x0+δ)时,f(x)>0,则f(x)x0处取得极小值(3) 若xU0(x0,δ)时,f(x)的符号保持不变,则f(x)x0处没有极值设函数f(x)在x_0处连续,且在x_0的某去心邻域\overset oU(x_0,\delta)内可导\\ (1)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时,f'(x)>0,而x\in (x_0,x_0+\delta)时,f'(x)<0,则f(x)在x_0处取得极大值\\ (2)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时,f'(x)<0,而x\in (x_0,x_0+\delta)时,f'(x)>0,则f(x)在x_0处取得极小值\\ (3)~若x\in\overset 0U(x_0,\delta)时,f'(x)的符号保持不变,则f(x)在x_0处没有极值\\
    • 极值定理【充分条件】2设函数f(x)x0处具有二阶导数且f(x0)=0f(x0)0,则(1) 当f(x0)<0时,函数f(x)x0取得极大值(2) 当f(x0)>0时,函数f(x)x0取得极小值设函数f(x)在x_0处具有二阶导数且f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0,则\\ (1)~当f''(x_0)<0时,函数f(x)在x_0取得极大值\\ (2)~当f''(x_0)>0时,函数f(x)在x_0取得极小值

函数图形的描绘

步骤

  1. 确定特性(定义域、奇偶、周期等),求出一阶导数f(x)f'(x)和二阶导数f(x)f''(x)
  2. 求出一阶导数和二阶导数在定义域内全部零点、f(x)f(x)间断点和f(x)f'(x)f(x)f''(x)不存在的点,用这些点划分区间
  3. 确定这些区间内f(x)f'(x)f(x)f''(x)的符号,由此确定函数图形的升降、凹凸、拐点
  4. 确定函数的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
  5. 算出f(x)f'(x)f(x)f''(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值,为了描绘得准确些,有时补充一些点,然后联结这些点画出函数图形

曲率(曲线弯曲程度)

弧微分(曲率的引概念)

  • 定义

    • 弧长:弧长sx存在函数关系s=s(x)x2+y2,而且s(x)x的单调增加函数弧长s与x存在函数关系s=s(x)\sim \sqrt{x^2+y^2},而且s(x)是x的单调增加函数
  • 弧导数:s=s(x)s'=s'(x)

  • 弧微分公式(仍然是化曲为直思想,化曲为直的误差为o(x^1))

    • 弧微分公式ds=1+y 2dxds=\sqrt{1+y'~^2}dx

曲率

  • 定义
    • 本质:曲线的弯曲程度
    • 影响因素:与切线旋过的角度和弧段长度有关(与s有关而非x,比如一个半圆弧曲率不变,其旋转时x的范围不同)
    • 曲率:ΔαΔs\frac{|\Delta \alpha|}{|\Delta s|}
  • 曲率公式(有点难记)
    • 曲率公式Kˉ=ΔαΔsK=dαds=y1+y23/2y<<1KyK=dαds=1α\bar{K}=|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}^{3/2}}\xrightarrow {当|y'|<<1时}K\sim |y''|\\ K_圆=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac1\alpha

曲率圆和曲率半径

  • 概念

    • 曲率圆
    • 曲率中心:DD
    • 曲率半径:ρ=1K\rho=\frac{1}{K},即曲率半径与曲率互为导数
    • 渐屈线:曲率中心轨迹曲线为原曲线的渐屈线
    • 渐伸线:原曲线为曲率中心轨迹曲线的渐伸线
  • 曲率中心公式(有点难记)

    • 曲率中心的计算公式(直接求也行)
      • {α=xy(1+y 2)yβ=y+1+y 2y\left\{\begin{aligned} & \alpha=x-\frac{y'(1+y'~^2)}{y''}\\ & \beta=y+\frac{1+y'~^2}{y''} \end{aligned}\right.

记法

方程的近似解

思路

  • 根的隔离:使所求根是位于隔离区间内的唯一实根
  • 求近似解:这里有三种常用方法,可以在计算机上求近似解

求近似解方法

  • 二分法
    • 优点:简单易用
  • 切线法(图像理解)
    • 限制:需要一阶二阶导数保持定号
    • 优点:比二分法靠近近似解更快(实验次数更少)
  • 割线法(别名:弦截法)(图像理解)
    • 优点:比二分法靠近近似解更快(实验次数更少),不用求导
    • 补充:和切线法差不多,使用切线近似值来代替了求导的过程。不用求导但需要迭代
    • 迭代公式:xn+1=xnxnxn1f(xn)f(xn1)f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\cdot f(x_n)

总结(自增)

总结(自增)

符号总结

英文名

费马(Fermat)、罗尔(Rolle)、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy)、洛必达(L' Hospital)、泰勒(Taylor)、麦克劳林(Maclaurin

定理总结

微分中值定理(一些性质)

微分中值定理(图像理解,与闭区间连续函数性质(零点定理和介值定理)有异曲同工之妙)

  • 中值定理【费马引理】
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的xU(x0),有f(x)f(x0)      (或f(x)f(x0那么f(x0)=0设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义,并且在x_0处可导,如果对任意的x\in U(x_0),有\\ f(x)\leq f(x_0)~~ ~~ ~~(或f(x)\geq f(x_0)\\ 那么f'(x_0)=0
  • 中值定理【罗尔定理】:(下位定理,画图理解)
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξaξb),使得f(ξ)=0如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi(a\leq\xi\leq b),使得f'(\xi)=0
  • 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理:(画图理解,高中也可以提前用)
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξa<ξ<b),使等式f(b)f(a)ba=f(ξ)成立如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi(a<\xi<b),使等式\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)φ(x)=f(x)f(b)f(a)ba(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)\\ 或\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理:(能用于准确描述Δx\Delta x的增量,后面泰勒展开的拉氏余项会用到)
    • Δy=f(x+θΔx)Δx0<θ<1)(还是当曲线,有限增值公式)     =f(x)Δx+o(Δx)(微分线段看成直线)\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x(0<\theta<1)(还是当曲线,有限增值公式)\\ ~~ ~~ ~= f'(x)\cdot\Delta x+o(\Delta x)(微分线段看成直线)
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 导出】:(不废话吗)
    • 如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零
    • 逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数
  • 中值定理【柯西中值定理】:(不能理解为左式分数上下同除以bab-a,因为不能确保右式的ξ\xi是同一值,两端的端点也不同)
    • 如果函数f(x)F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x(a,b)F(x)0那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式f(b)f(a)F(b)F(a)=f(ξ)F(ξ)成立如果函数f(x)几F(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~对任一x\in (a,b),F'(x)\neq0\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi,使等式\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)f(b)f(a)F(b)F(a)F(x),两端相等,符合罗尔定理证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x),两端相等,符合罗尔定理

洛必达法则(求值方法)

洛必达法则(高中可学可用,容错注意:结果存在才能用

  • 洛必达法则【定理1】(1) 当xa时,函数f(x)F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内,f(x)F(x)都存在且F(x)0(3) limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)limxaf(x)F(x)=limxaf(x)F(x)设\\(1)~当x\rightarrow a时,函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~在点a的某去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在(或为无穷大)\\ 则\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
  • 洛必达法则【定理2】(1) 当x时,函数f(x)F(x)都趋于零(2) 当x>N时,f(x)F(x)都存在且F(x)0(3) limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)limxf(x)F(x)=limxf(x)F(x)设\\(1)~当x\rightarrow \infty时,函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~当|x|>N时,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在(或为无穷大)\\ 则\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

泰勒公式(构造极限)

泰勒公式定理

  • 泰勒中值定理【佩亚诺余项】如果函数f(x)x0处具有(n)阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有f(x)=f(x0)+f(x)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((xxo)n)理解原理:右式的k阶导数均=f(k)+o((xx0)k),补充:这里的Rn的表达式是佩亚诺余项如果函数f(x)在x_0处具有{\color{red}(n)}阶导数,那么存在x_0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有\\ f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=o((x-x_o)^n)\\ 理解原理:右式的k阶导数均=f^{(k)}+o((x-x_0)^k),补充:这里的R_n的表达式是佩亚诺余项
  • 泰勒中值定理【 拉氏余项 】如果函数f(x)x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一xU(x0),有f(x)=f(x0)+f(x)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1,(ξx0x之间的某个值)补充:这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项如果函数f(x)在x_0的某个邻域U(x_0)内具有{\color{red}(n+1)}阶导数,那么对任一x\in U(x_0),有\\f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},(\xi是x_0与x之间的某个值)\\ 补充:这里的R_n(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项
  • 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1),佩亚诺余项和拉氏余项f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\\ R_n(x)=o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)},佩亚诺余项和拉氏余项

单调性与凹凸性(导数与曲线性质、导数几何意义)

函数判定定理(高中内容,凹凸性定义可用于缩放函数)

  • 单调性导数定理设函数y=f(x)[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)f(x)0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)[a,b]上单调增加(2) 如果在(a,b)f(x)0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)[a,b]上单调减少设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导\\ (1)~如果在(a,b)内f'(x)\geq0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加\\ (2)~如果在(a,b)内f'(x)\leq0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
  • 凹凸性定义与性质f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2(1) 恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2,那么称f(x)I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)(2) 恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,那么称f(x)I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x_1,x_2,\\ (1)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)\\ (2)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)\\
  • 凹凸性导数定理f(x)[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1) 若在(a,b)f(x)>0,则f(x)[a,b]上的图形是凹的(1) 若在(a,b)f(x)<0,则f(x)[a,b]上的图形是凸的设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

极值性质(都是废话)

  • 极值定理【必要条件】函数f(x)x0处可导,且在x0处取得极值f(x0)=0函数f(x)在x_0处可导,且在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0
  • 极值定理【充分条件】1设函数f(x)x0处连续,且在x0的某去心邻域Uox0,δ)内可导(1) 若x(x0δ,x0)时,f(x)>0,而x(x0,x0+δ)时,f(x)<0,则f(x)x0处取得极大值(2) 若x(x0δ,x0)时,f(x)<0,而x(x0,x0+δ)时,f(x)>0,则f(x)x0处取得极小值(3) 若xU0(x0,δ)时,f(x)的符号保持不变,则f(x)x0处没有极值设函数f(x)在x_0处连续,且在x_0的某去心邻域\overset oU(x_0,\delta)内可导\\ (1)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时,f'(x)>0,而x\in (x_0,x_0+\delta)时,f'(x)<0,则f(x)在x_0处取得极大值\\ (2)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时,f'(x)<0,而x\in (x_0,x_0+\delta)时,f'(x)>0,则f(x)在x_0处取得极小值\\ (3)~若x\in\overset 0U(x_0,\delta)时,f'(x)的符号保持不变,则f(x)在x_0处没有极值\\
  • 极值定理【充分条件】2设函数f(x)x0处具有二阶导数且f(x0)=0f(x0)0,则(1) 当f(x0)<0时,函数f(x)x0取得极大值(2) 当f(x0)>0时,函数f(x)x0取得极小值设函数f(x)在x_0处具有二阶导数且f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0,则\\ (1)~当f''(x_0)<0时,函数f(x)在x_0取得极大值\\ (2)~当f''(x_0)>0时,函数f(x)在x_0取得极小值

曲率

弧微分公式(仍然是化曲为直思想,化曲为直的误差为o(x^1))

  • 弧微分公式ds=1+y 2dxds=\sqrt{1+y'~^2}dx

曲率公式(有点难记)

  • 曲率公式Kˉ=ΔαΔsK=dαds=y1+y23/2y<<1KyK=dαds=1α\bar{K}=|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}^{3/2}}\xrightarrow {当|y'|<<1时}K\sim |y''|\\ K_圆=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac1\alpha

曲率中心公式(有点难记)

  • 曲率中心的计算公式(直接求也行)
    • {α=xy(1+y 2)yβ=y+1+y 2y\left\{\begin{aligned} & \alpha=x-\frac{y'(1+y'~^2)}{y''}\\ & \beta=y+\frac{1+y'~^2}{y''} \end{aligned}\right.