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微分中值定理(图像理解,与闭区间连续函数性质(零点定理和介值定理)有异曲同工之妙)
- 中值定理【费马引理】:
- 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)那么f′(x0)=0
中值定理【罗尔定理】:(下位定理,画图理解) - 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξ(a≤ξ≤b),使得f′(ξ)=0
- 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理:(画图理解,高中也可以提前用)
- 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式b−af(b)−f(a)=f′(ξ)成立
- 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)或φ(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)
- 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理:(能用于准确描述Δx的增量,后面泰勒展开的拉氏余项会用到)
- Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx(0<θ<1)(还是当曲线,有限增值公式) =f′(x)⋅Δx+o(Δx)(微分线段看成直线)
中值定理【拉氏中值定理 - 导出】:(不废话吗) - 如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零
- 逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数
- 中值定理【柯西中值定理】:(不能理解为左式分数上下同除以b−a,因为不能确保右式的ξ是同一值,两端的端点也不同)
- 如果函数f(x)几F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x∈(a,b),F′(x)=0那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)成立
- 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−F(b)−F(a)f(b)−f(a)F(x),两端相等,符合罗尔定理
其他
- 推导:费马引理⇒罗尔定理⇒拉格朗日中值定理
- 吐槽:这和微分有什么关系,其他明明是导数中值定理(除了有限增值定理能用于准确描述Δx的增量外)
概念
- 驻点、稳定点、临界点:通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)
(我觉得这章应该在导数一章的求导法则里出现才对)
洛必达法则(高中可学可用,易错注意:结果存在才能用)
- 洛必达法则【定理1】:设(1) 当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内,f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)=0(3) limx→aF′(x)f′(x)存在(或为无穷大)则limx→aF(x)f(x)=limx→aF′(x)f′(x)
- 洛必达法则【定理2】:设(1) 当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 当∣x∣>N时,f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)=0(3) limx→aF′(x)f′(x)存在(或为无穷大)则limx→∞F(x)f(x)=limx→∞F′(x)f′(x)
内核思想
- 思想:用多项式来近似表达函数
- 误差:如ex∼1+x、ln(1+x)∼产生的误差仅是关于x的高阶无穷小n阶等价无穷小的意思就是误差为o(xn)
- 提高精度思路:使用更高层次的多项式来逼近函数
- 构造多项式思路:设f(x)在x0具有n阶导数,试找出一个关于(x−x0)的n次多项式pn(x)来近似表达f(x)pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n使得∣pn(x)−f(x)∣∼o((x−x0)n)
概念
- 佩亚诺余项Rn(x)=o((x−x0)n)
- 拉格朗日余项Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1
- 泰勒中值定理【佩亚诺余项】:如果函数f(x)在x0处具有(n)阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((x−xo)n)理解原理:右式的k阶导数均=f(k)+o((x−x0)k),补充:这里的Rn的表达式是佩亚诺余项
- 泰勒中值定理【 拉氏余项 】:如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一x∈U(x0),有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,(ξ是x0与x之间的某个值)补充:这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项
- 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式:f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=(n+1)!f(n+1)(θx)x(n+1),佩亚诺余项和拉氏余项
x→0时
1−x1sinxcosx=1+x+x2+x3+x4+⋯=n=0∑∞xn=x−3!x3+5!x5−7!x7+9!x9−⋯=n=1∑∞(−1)n−1(2n−1)!x2n−1=1−2!x2+4!x4−6!x6+8!x8−⋯=n=0∑∞(−1)n (2n)!x2n
(我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”)
(我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”)
极值(区域最值)
- 定义
- 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x,有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)
- 概念
- 极值、极值点
- 目标函数(问题在数学上归结为求某一函数最值的问题)
- 极值性质(都是废话)
- 极值定理【必要条件】:函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值⇒f′(x0)=0
- 极值定理【充分条件】1:设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域Uo(x0,δ)内可导(1) 若x∈(x0−δ,x0)时,f′(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值(2) 若x∈(x0−δ,x0)时,f′(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值(3) 若x∈U0(x0,δ)时,f′(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处没有极值
- 极值定理【充分条件】2:设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f′′(x0)=0,则(1) 当f′′(x0)<0时,函数f(x)在x0取得极大值(2) 当f′′(x0)>0时,函数f(x)在x0取得极小值
步骤
- 确定特性(定义域、奇偶、周期等),求出一阶导数f′(x)和二阶导数f′′(x)
- 求出一阶导数和二阶导数在定义域内全部零点、f(x)间断点和f′(x)、f′′(x)不存在的点,用这些点划分区间
- 确定这些区间内f′(x)和f′′(x)的符号,由此确定函数图形的升降、凹凸、拐点
- 确定函数的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
- 算出f′(x)、f′′(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值,为了描绘得准确些,有时补充一些点,然后联结这些点画出函数图形
弧微分(曲率的引概念)
曲率
- 定义
- 本质:曲线的弯曲程度
- 影响因素:与切线旋过的角度和弧段长度有关(与s有关而非x,比如一个半圆弧曲率不变,其旋转时x的范围不同)
- 曲率:∣Δs∣∣Δα∣
- 曲率公式(有点难记)
- 曲率公式:Kˉ=∣ΔsΔα∣K=∣dsdα∣=1+y′23/2∣y′′∣当∣y′∣<<1时K∼∣y′′∣K圆=∣dsdα∣=α1
曲率圆和曲率半径
概念
- 曲率圆
- 曲率中心:D
- 曲率半径:ρ=K1,即曲率半径与曲率互为导数
- 渐屈线:曲率中心轨迹曲线为原曲线的渐屈线
- 渐伸线:原曲线为曲率中心轨迹曲线的渐伸线
曲率中心公式(有点难记)
- 曲率中心的计算公式(直接求也行)
- ⎩⎨⎧α=x−y′′y′(1+y′ 2)β=y+y′′1+y′ 2
思路
- 根的隔离:使所求根是位于隔离区间内的唯一实根
- 求近似解:这里有三种常用方法,可以在计算机上求近似解
求近似解方法
- 二分法
- 切线法(图像理解)
- 限制:需要一阶二阶导数保持定号
- 优点:比二分法靠近近似解更快(实验次数更少)
- 割线法(别名:弦截法)(图像理解)
- 优点:比二分法靠近近似解更快(实验次数更少),不用求导
- 补充:和切线法差不多,使用切线近似值来代替了求导的过程。不用求导但需要迭代
- 迭代公式:xn+1=xn−f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1⋅f(xn)
英文名
费马(Fermat)、罗尔(Rolle)、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy)、洛必达(L' Hospital)、泰勒(Taylor)、麦克劳林(Maclaurin)
微分中值定理(图像理解,与闭区间连续函数性质(零点定理和介值定理)有异曲同工之妙)
- 中值定理【费马引理】:
- 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)那么f′(x0)=0
中值定理【罗尔定理】:(下位定理,画图理解) - 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξ(a≤ξ≤b),使得f′(ξ)=0
- 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理:(画图理解,高中也可以提前用)
- 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式b−af(b)−f(a)=f′(ξ)成立
- 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a),两端为0,符合罗尔定理(画图理解)或φ(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x),两端相等,符合罗尔定理(画图理解)
- 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理:(能用于准确描述Δx的增量,后面泰勒展开的拉氏余项会用到)
- Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx(0<θ<1)(还是当曲线,有限增值公式) =f′(x)⋅Δx+o(Δx)(微分线段看成直线)
中值定理【拉氏中值定理 - 导出】:(不废话吗) - 如果函数f(x)在区间I上是一个常数,那么f(x)在区间I上的导数恒为零
- 逆命题也成立:如果函数f(x)在区间I上连续,I内可导且导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数
- 中值定理【柯西中值定理】:(不能理解为左式分数上下同除以b−a,因为不能确保右式的ξ是同一值,两端的端点也不同)
- 如果函数f(x)几F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x∈(a,b),F′(x)=0那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)成立
- 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−F(b)−F(a)f(b)−f(a)F(x),两端相等,符合罗尔定理
洛必达法则(高中可学可用,容错注意:结果存在才能用)
- 洛必达法则【定理1】:设(1) 当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内,f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)=0(3) limx→aF′(x)f′(x)存在(或为无穷大)则limx→aF(x)f(x)=limx→aF′(x)f′(x)
- 洛必达法则【定理2】:设(1) 当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 当∣x∣>N时,f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)=0(3) limx→aF′(x)f′(x)存在(或为无穷大)则limx→∞F(x)f(x)=limx→∞F′(x)f′(x)
泰勒公式定理
- 泰勒中值定理【佩亚诺余项】:如果函数f(x)在x0处具有(n)阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内的任一x,有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((x−xo)n)理解原理:右式的k阶导数均=f(k)+o((x−x0)k),补充:这里的Rn的表达式是佩亚诺余项
- 泰勒中值定理【 拉氏余项 】:如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一x∈U(x0),有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,(ξ是x0与x之间的某个值)补充:这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理(拉格朗日微分中值定理)的运用,也叫拉格朗日余项
- 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式:f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=(n+1)!f(n+1)(θx)x(n+1),佩亚诺余项和拉氏余项
函数判定定理(高中内容,凹凸性定义可用于缩放函数)
- 单调性导数定理:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)内f′(x)≥0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(2) 如果在(a,b)内f′(x)≤0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
- 凹凸性定义与性质:设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,(1) 恒有f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2),那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)(2) 恒有f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2),那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)
- 凹凸性导数定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1) 若在(a,b)内f′′(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的(1) 若在(a,b)内f′′(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
极值性质(都是废话)
- 极值定理【必要条件】:函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值⇒f′(x0)=0
- 极值定理【充分条件】1:设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域Uo(x0,δ)内可导(1) 若x∈(x0−δ,x0)时,f′(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值(2) 若x∈(x0−δ,x0)时,f′(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值(3) 若x∈U0(x0,δ)时,f′(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处没有极值
- 极值定理【充分条件】2:设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f′′(x0)=0,则(1) 当f′′(x0)<0时,函数f(x)在x0取得极大值(2) 当f′′(x0)>0时,函数f(x)在x0取得极小值
弧微分公式(仍然是化曲为直思想,化曲为直的误差为o(x^1))
- 弧微分公式:ds=1+y′ 2dx
曲率公式(有点难记)
- 曲率公式:Kˉ=∣ΔsΔα∣K=∣dsdα∣=1+y′23/2∣y′′∣当∣y′∣<<1时K∼∣y′′∣K圆=∣dsdα∣=α1
曲率中心公式(有点难记)
- 曲率中心的计算公式(直接求也行)
- ⎩⎨⎧α=x−y′′y′(1+y′ 2)β=y+y′′1+y′ 2