线性代数

目录

[toc]

行列式

全排列和对换（引理作用）

全排列

• 定义
  • 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）

逆序数

• 定义
  • 标准次序：规定各元素之间又一个标准次序（可规定且一般规定从小到大为标准次序）
  • 序数：当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序
  • 逆序数：一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数
  • 奇（偶）排列：逆序数为奇数（偶数）的排列，标准排序为偶排序（逆序数0）
• 计算方法
  • 元素的逆序数$t_i$为：应位在于该元素后，但位于其前的元素的个数
  • $t=t_1+t_2+\cdots+t_n=\sum_{i=1}^n t_i$

对换

• 定义
  • 排列中，将任意两个元素对调
  • 将相邻的两个元素对调，叫做相邻对调
• 定理
  • 排列对换【定理1】：一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性
  • 排列对换【定理1推论】：奇函数（偶函数）对换成标准排列的对换次数为奇数（偶数）

2阶、3阶、n阶行列式

行列式

• 概念
  • $a_{ij}$，元素或元、$(i,j)元$
  • $i$行标，$j$列标
  • 对角线法则，主对角线、副对角线
• 应用
  • 解n元n列线性方程组（克拉默法则的应用）

二阶行列式

• 求值

  • 方法
    • $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
  • 记法
    • 对角线法则：主对角线 - 副对角线
    • n阶通法

• 应用：解二元线性方程组（克拉默法则的应用）

  • 方法
    • $D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}$
    • ${\color{red}D_1}=\begin{vmatrix} \color{green}b_{1}&a_{12}\\ \color{green}b_{2}&a_{22} \end{vmatrix}$
    • ${\color{blue}D_2}=\begin{vmatrix} a_{11}&\color{green}b_{1}\\ a_{21}&\color{green}b_{2} \end{vmatrix}$
    • $\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{\color{red}D_1}{D}\\ x_2=\frac{\color{blue}D_2}D \end{matrix}\right.$
  • 记法
    • 方程组的位置记：$\left\{\begin{matrix} {\color{red}b_1}={\color{red}a_{11}}x_1+{\color{blue}a_{12}}x_2={\color{blue}b_1}\\ {\color{red}b_2}={\color{red}a_{21}}x_1+{\color{blue}a_{22}}x_2={\color{blue}b_2} \end{matrix}\right.$
    • 用$\begin{matrix}b_1\\b_2\end{matrix}$依次代替各列

三阶行列式

• 求值1
  • 方法

    • $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end

      \begin{matrix} +a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\ -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{matrix}$
  • 记法
    • 对角线法则：右下对角线 - 左下对角线
    • n阶通法
• 求值2（较好用，口算后只用在纸上写两个加法）
  • 方法

    • $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end

      \begin{matrix} +a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})\ +a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})\ +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\ \end{matrix}$
  • 记法
    • 下叉法 / 代数余子式法（本质是代数余子式定理二）
• 应用：解三元线性方程组（克拉默法则的应用）（该章无，额外补充）
  • 方法：
    • $D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$
    • ${\color{red}D_1}=\begin{vmatrix} \color{green}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\ \color{green}b_{2}&a_{22}&a_{23}\\ \color{green}b_{3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}$
    • ${\color{blue}D_2}=\begin{vmatrix} a_{11}&\color{green}b_{1}&a_{13}\\ a_{21}&\color{green}b_{2}&a_{23}\\ a_{31}&\color{green}b_{3}&a_{33} \end{vmatrix}$
    • ${\color{magenta}D_3}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\color{green}b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\color{green}b_{2}\\ a_{31}&a_{32}&\color{green}b_{3} \end{vmatrix}$
    • $\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{\color{red}D_1}{D}\\ x_2=\frac{\color{blue}D_2}{D}\\ x_3=\frac{\color{magenta}D_3}{D} \end{matrix}\right.$
  • 记法
    • 用$\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}$依次代替各列

n阶行列

n阶行列式

• 定义（求值）
  • 定义：$设有n^2个数，排成n行n列的数表：\\ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\\ 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)^t，得到形如(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}的项，\\ （其中p_1p_2\cdots p_n为自然数1,2,\cdots,n的一个排列，t为这个排列的逆序数.）\\ （这样的排列共有n!个，因而项共有n!个.）\\ 这些项的代数和为\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}，称为n阶行列式$
  • 记作：$D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$
  • 简记：$\det(a_{ij})，其中数a_{ij}为行列式D的(i,j)元$
  • 记法：用脑内动图遍历连线的方式来理解定义，加法因子数量为：全排列数$A_n^n=n!$
• 应用：
  • 解n元n列线性方程组（克拉默法则的应用）
  • 作为矩阵性质证明的引理
  • 对矩阵运算的中间过程提供引概念和符号

行列式性质

• 行列式性质（原版）

  • 行列式【性质1】：行列式与它的转置行列式相等（转置可视为沿主对角线翻转）

    $\begin{vmatrix} a_{11}&\color{blue}a_{12}&\color{blue}\cdots&\color{blue}a_{1n}\\ \color{red}a_{21}&a_{22}&\color{blue}\cdots&\color{blue}a_{2n}\\ \color{red}\vdots&\color{red}\vdots&&\color{blue}\vdots\\ \color{red}a_{n1}&\color{red}a_{n2}&\color{red}\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =D\overset{}= D^T= \begin{vmatrix} a_{11}&\color{red}a_{21}&\color{red}\cdots&\color{red}a_{n1}\\ \color{blue}a_{12}&a_{22}&\color{red}\cdots&\color{red}a_{n2}\\ \color{blue}\vdots&\color{blue}\vdots&&\color{red}\vdots\\ \color{blue}a_{1n}&\color{blue}a_{2n}&\color{blue}\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$

  • 行列式【性质1(推论)】：行列式的行与列具有同等地位，凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然

  • 行列式【性质2】：对换行列式的两行（列），行列式变号

  • 行列式【性质2推论】：如果行列式有两行（列完全相同，则此行列式等于零）

  • 行列式【性质3】：行列式的某一行（列）中所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式

  • 行列式【性质3推论】：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

  • 行列式【性质4】：行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

  • 行列式【性质5】：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于另两个行列式之和（如下）

    （补充：若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可以分解成$2^n$个行列式）

    $D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{red}a_{i1}}+{\color{blue}a'_{i1}}&{\color{red}a_{i2}}+{\color{blue}a'_{i2}}&\cdots&{\color{red}a_{in}}+{\color{blue}a'_{in}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \color{red}a_{i1}&\color{red}a_{i2}&\cdots&\color{red}a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ {\color{blue}a'_{i1}}&\color{blue}a'_{i2}&\cdots&\color{blue}a'_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$

  • 【性质6】：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

    （补充应用：可以把行列式许多元素化为0，且D非零时必定转换成上（下）三角行列式）

• 行列式性质（简练归纳版）（row行，column列）

  • 行列式【性质1】：$D=D^T$
  • 行列式【性质2】：$r_i\leftrightarrow r_j\Rightarrow D\rightarrow-D$
  • 行列式【性质2推论】：$r_i=r_j\Rightarrow D=0$
  • 行列式【性质3】：$r_i\rightarrow kr_i\Rightarrow D\rightarrow kD$
  • 行列式【性质3推论】：$r_i\rightarrow r_i/k等价于D\rightarrow kD'$
  • 行列式【性质4】：$kr_i=kr_j\Rightarrow D=0$（由性质2、3得）
  • 行列式【性质5】：$r_i=r'_i+r''_i\Rightarrow D=D'+D''$
  • 行列式【性质6】：$r_i\rightarrow r_i+kr_j\Rightarrow D不变$

按行（列）展开

余子式

• 余子式（只是为了表述方便才定义，没有用，用的都是代数余子式。就像平方的逆运算是算术平方根而非平方根）
  • 定义：$把(i,j)元a_{ij}所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a_{ij}的余子式$
  • 记作：$M_{ij}$
• 代数余子式
  • 定义&记作：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

代数余子式定理

• 代数余子式【引理】：$一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元a_{ij}外都为零，，那么这行列式等于a_{ij}与它的代数余子式的乘积，即\\ D=a_{ij}A_{ij}$

• 代数余子式【定理1】行列式按行（列）展开法则：$行列式等于它在任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即\\ D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\\或\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$​

• 代数余子式【定理1推论】：$行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即\\ a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\\或\\ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0$

  ==（^这个推论是专门为后面伴随矩阵的求法证明服务的，基本无它用）==易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同

定理补充

• 应用：简化行列式的计算（非硬解）
• 证明：通过引理
• 理解：用脑中动画连线的方法

总结（自增）

符号总结（课本）

符号总结

写法	含义
$D、D_n$	行列式、n阶行列式
$	\mathbf
$\det(a_{ij})$	由$a_{ij}$组成的行列式
$a_{ij}$	元素、元、$(i,j)元$
$r_i、c_i$	行列式第$i$行、第$i$列
$M_{ij}$	余子式
$A_{ij}$	代数余子式

定理总结（课本）

行列式性质（简练归纳版）（row行，column列）

• 行列式【性质1】：$D=D^T$
• 行列式【性质2】：$r_i\leftrightarrow r_j\Rightarrow D\rightarrow-D$
• 行列式【性质2推论】：$r_i=r_j\Rightarrow D=0$
• 行列式【性质3】：$r_i\rightarrow kr_i\Rightarrow D\rightarrow kD$
• 行列式【性质3推论】：$r_i\rightarrow r_i/k等价于D\rightarrow kD'$
• 行列式【性质4】：$kr_i=kr_j\Rightarrow D=0$（由性质2、3得）
• 行列式【性质5】：$r_i=r'_i+r''_i\Rightarrow D=D'+D''$
• 行列式【性质6】：$r_i\rightarrow r_i+kr_j\Rightarrow D不变$

代数余子式定理

• 代数余子式【引理】：$一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元a_{ij}外都为零，，那么这行列式等于a_{ij}与它的代数余子式的乘积，即\\ D=a_{ij}A_{ij}$

• 代数余子式【定1理】行列式按行（列）展开法则：$行列式等于它在任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即\\ D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\\或\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$​

• 代数余子式【定理1推论】：$行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即\\ a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\\或\\ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0$

  ==（^这个推论是专门为后面伴随矩阵的求法证明服务的，基本无它用）==易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同

行列式变换（自增）

数字阵变换

• 分类1（ 线性变换）
  • 整体变换
    • 纵横对称、对角线对称（方阵）
    • 90°旋转、180°旋转
  • 行（列）变换
    • 交换
    • 共运算（四则运算）
  • 元素（区域）变换 / 分割变换（元素变换一般伴随分割变换，不太可能元素改变而整体性质不变）
    • 分割
• 分类2（非线性变换）
  • 略
• 规则
  • 行（列）变换：见行列式性质
  • 元素（区域）变换 / 分割变换：见行列式按行（列）展开法则
  • 整体变换：这个书上没教，我就自己推导出来了，十分好用。具体如下

行列式整体变换

（该部分为自己推导的自己增加的，书上没写但很好用，比如把副对角线三角行列式变为三角行列式等。所以单独作为一章）

（注：表格使用的的符号部分为个人自定义符号，请勿在笔记外外用）

操作	值	补充
镜像（沿主对角线）置换行列式	$D$	$D^T=D^{L90My}=D^{R90Mx}=D^{MxL90}==D^{MyR90}$
镜像（沿副对角线）	$D$	$D^{T'}=D^{R90My}=D^{L90Mx}=D^{MxR90}=D^{MyL90}$
镜像（横向 / 纵向）	$(-1)^nD$	$D^{Mx}~或~D^{My}$
旋转（90°）	$(-1)^nD$	$D^{R90}~或~D^{L90}$
旋转（180°）	$D$	$D^{R180}=D^{R90R90}=D^{MxMy}$

常见行列式（自增）

特殊 / 典型n阶行列式（题型）

• 单位矩阵：主对角线以上和以下的元素都为1的行列式（不用记公式，可用余子式算）

  $$D= \begin{vmatrix} 1\\ &1\\ &&\ddots\\ &&&1 \end{vmatrix} =1$$

• 上（下）三角形行列式：主对角线以上（下）的元素都为0的行列式（不用记公式，可用余子式算）

  $$D=\begin{vmatrix} a_{11}&&&\\ a_{21}&a_{22}&&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

• 对角行列式：主对角线以上和以下的元素都为0的行列式（不用记公式，可用余子式算）

  $$D= \begin{vmatrix} a_{11}\\ &a_{22}\\ &&\ddots\\ &&&a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

• 方框行列式（典例）：（$把D_1和D_2根据行列式性质6转换成下三角行列式，可证得$）

  （形式上很像代数余子式的引理，但原理完全完全不同，没有0方就完全不能用）

  $$D= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots&&\vdots&&0\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}\\ c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{nk}&b_{n1}&\cdots&b_{nn} \end{vmatrix} =D_1\cdot D_2= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} b_{11}&\cdots&b_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ b_{k1}&\cdots&b_{kk} \end{vmatrix}$$

• X形4元行列式（典例）：

  $$D_{2n}= \begin{vmatrix} a_1&&&&&b_1\\ &\ddots&&&\cdot\\ &&a_n&b_n\\ &&c_n&d_n\\ &\cdot&&&\ddots\\ c_1&&&&&d_1 \end{vmatrix} =迭代转换成典例余子式行列式=\prod_{i=1}^n(a_id_i-b_ic_i)=(ad-bc)^n（当只有4元）$$

• 范德蒙德（Vandermonde）行列式：（证明很妙，类似的范德蒙德法见后总结）

  $$D_n=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix} =\prod_{2\geq i>j\geq1}(x_i-x_j)$$

对角行列式的各种变形（题型）

很多题都是或能化简成对角行列式/三角行列式的变形形式，这些变形形式依照化简深度从浅到深排序如下：

• 对角行列式变形（带污染元素）：

  $$D= \begin{vmatrix} a_{1}\\ &a_{2}\\ &&\ddots\\ k&&&a_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow 直接展开？$$

• 对角行列式变形（带首列（同元））：

  $$D= \begin{vmatrix} a_{1}\\ k&a_{2}\\ \vdots&&\ddots\\ k&&&a_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow 范德蒙德法（归一）$$

• 对角行列式变形（带首行首列（同元））：

  $$D= \begin{vmatrix} 1+a_1&1&\cdots&1\\ -a_1&a_2\\ \vdots&&\ddots\\ -a_1&&&a_n \end{vmatrix} \Rightarrow c_1+=\frac{a_1}{a_i}c_i，范德蒙德法（归一）$$

• 对角行列式变形（两侧填充）：

  $$D= \begin{vmatrix} a_{1}\\ &a_{2}&&1\\ 1&&\ddots\\ &&&a_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow 范德蒙德法（借行）\Rightarrow 对角行列式变形（带首行首列）$$

题型总结（自增）

常用方法

求值题

• 总思路

  • 通过定义硬算，适用：$n\leq3$
    • 使用行列式性质化简，适用：$n\leq6的全已知数行列式，行列式的调整、化简$
    • 使用代数余子式化简，适用：某行的非零元素数$\leq3$

• 凑法（就是不断使用行列式性质化简）

  • 凑上下三角行列式
  • 凑对角行列式
  • 凑对角方块行列式（代数余子式）
  • 凑成其他特殊n阶行列式

• 范德蒙德法（范德蒙德行列式的求值过程中，性质6妙用方法的变形）

  • 方法核心：$使用迭代操作行的方法把第一列消掉 > 还原剩余数据 > 重复操作。\\ 经常性会一题使用多次范德蒙德法的不同类型$
  • 借邻（遍历邻行）：$描述：n/n-1行遍历利用邻行，进行r_i+kr_j操作\\ 适用：r_i=r_{i-1}(+-\times\div)k~或~局部递推结构\\ 举例：范德蒙德行列式的求值（r_i=r_{i-1}\cdot r_2）$
  • 借行（遍历某行）：$描述：n/n-1行遍历利用1行，进行r_i+kr_j操作\\ 适用：行一结构、行n结构$
  • 归一（某行遍历）：$描述1：1行遍历利用其余n/n-1行，进行r_i+kr_j操作\\ 适用1：落子结构\\ 描述2：1行遍历利用其余n/n-1行，进行r_i+f(a_{j},r_j)操作\\ 适用2：行缺结构+撇行为对角行列式$

• 性质分析（自创）（这不是一个解题 / 求值方法而是分析方法）

  • 同元结构：$所有n阶行列式的题都是同元结构。指未知量数量的数量级小于或等于n，而不达n^2$

  • 落子结构：$\sum c_{k_1}=\sum c_{k_2}，所有列（行）的和相同，因为使用时像每列都受重力掉在n个盒子里，故吾名其落子法\\ 适用{\color{red}范德蒙德法（归一）}把\det(a_{ij})变为行一结构$

  • 行（列）一结构：$a_{1k}=1，可以由落子结构通过{\color{red}范德蒙德法（归一）}演化而来\\ 适用{\color{red}范德蒙德法（借行）}来把元变零（基于同元结构）$

  • 列（行）单结构：$a_{11}外（=1），a_{1k}=0，可以由递推结构通过{\color{red}范德蒙德法（借邻）}演化而来（一般是列单结构）\\ 又或者r_i不为零的数\leq3\\ 下一步几乎必然是使用代数余子式化简$

  • 列（行）缺结构：$a_{11}外（=0），a_{k1}=1，可以由递推结构通过{\color{red}范德蒙德法（借邻）}演化而来（一般是列缺结构）\\ 撇开r_{1}看一般是特殊结构，带特殊行的情况下，下面只能凑上（下）三角结构（a_{11}是0） \\或{\color{red}范德蒙德法（归一）}处理掉特殊行（大几率会回溯变回起点，计算过程中出现该结构时一般不这样）$

  • 列（行）特结构：$首行（列）特殊，除去首行后剩余部分满足一定规律\\ 处理同行缺结构$

  • 递推结构：$r_i=r_{i-1}(+-\times\div)k\\ 只有下（上）三角满足，属于局部递归结构（其中主对角线必须要满足条件）\\ 适用{\color{red}范德蒙德法（借邻）}把\det(a_{ij})变为列单结构/列缺结构$

  • 对称结构（转置对称）：$主对角线对称（转置对称）\\ 常伴随落子结构和递推结构\\ 对行分析和对列分析是相同的结果，非对称结构行列都要看$

  • 对称结构（X对称）：$主对角线对称（转置对称）且副对角线也对称\\ 常伴随落子结构和递推结构\\ 例：\det(a_{ij})，其中a_{ij}=|i-j|$

证明题

• 略

难题

较难

• p22-2、p22-4、p23-6、p23-7