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线性代数

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线性代数

目录

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矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

矩阵初等变换

矩阵初等变换

  • 定义（以下为初等行变换，列变换把rr改成cc，行列变换统称初等变换）

    • ri↔rjr_i\leftrightarrow r_j，（对换两行）
    • i×ki\times k，（以数k≠0k\neq0乘以某一行中的所有元）
    • ri+krjr_i+kr_j，（把某一行所有元的kk倍加到另一行对应的元上去）

  • 矩阵初等变换性质

    • 矩阵初等变换【定理】：设A{\mathbf{A}}与B{\mathbf{B}}为m×n矩阵m\times n矩阵，那么：

      A∼B⇔存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在m阶可逆矩阵{\mathbf{P}}及n阶可逆矩阵{\mathbf{Q}}，使{\mathbf{PAQ}}={\mathbf{B}}

    • 引理：A∼rB⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=BA∼cB⇔存在n阶可逆矩阵P，使AQ=B{\mathbf{A}}\overset{r}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在m阶可逆矩阵{\mathbf{P}}，使{\mathbf{PA}}={\mathbf{B}}\\{\mathbf{A}}\overset{c}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在n阶可逆矩阵{\mathbf{P}}，使{\mathbf{AQ}}={\mathbf{B}}

  • 其他性质

    • 行列变换均可逆
    • 行变换为同解变换（变换后方程组的解不变）

  • 技巧

    • 书写新矩阵时：变哪行线先写哪行，然后可以继续变换其他行，这样一次书写可以进行次数更多的初等变换
    • 书写一行时：该行可以进行多次初等变换

矩阵等价

  • 定义

    • A经有限次初等行变换变为B，就称A与B行等价（记作A∼rB{\mathbf{A}}\overset{r}\sim {\mathbf{B}}）
    • A经有限次初等列变换变为B，就称A与B列等价（记作A∼cB{\mathbf{A}}\overset{c}\sim {\mathbf{B}}）
    • A经有限次 初等 变换变为B，就称A与B 等价 （记作A∼B{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}）

  • 矩阵等价性质（同等号）

    • 矩阵等价【性质】反身性：A∼A{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{A}}
    • 矩阵等价【性质】对称性：若A∼B，则B∼A若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，则{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{A}}
    • 矩阵等价【性质】传递性：若A∼B，B∼C，则A∼C若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{C}}，则{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{C}}

解方程组类矩阵

下面这几个概念，在研究矩阵变换、初等矩阵和可逆矩阵、秩的性质时，都会用到

  • 行阶梯形矩阵（对非零矩阵，有必存在性）

    • 定义

      • 非零矩阵 并满足：

        (1) 非零行在零行的上面

        (2) 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在）的首非零元所在列的右面

  • 行最简矩阵（对非零矩阵，有必存在性、唯一性）

    • 定义

      • 行阶梯形矩阵 并满足

        (1) 非零行的首非零元为1

        (2) 首非零元所在列的其他元均为0

    • 来源

      • 任意矩阵经过有限次行变换，其对非零矩阵必然存在且具有唯一性

  • 标准型（对非零矩阵，有必存在性）

    • 定义
      • 左上角是一个单位矩阵，其余元全为0
    • 来源
      • 任意矩阵经过有限次行变换和有限次列变换，或行最简矩阵经过有限次列变换
    • 举例
      • F=(ErOOO)m×n{\mathbf{F}}=\begin{pmatrix} {\mathbf{E}}_r& {\mathbf{O}}\\ {\mathbf{O}}& {\mathbf{O}} \end{pmatrix}_{m\times n}

  • 单位矩阵

    • 定义
      • （前面有，不再赘述）
      • 记作：E{\mathbf{E}}

  • 初等矩阵（引概念）

    • 定义

      • 由单位矩阵E{\mathbf{E}}经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

        三种初等变换对应有三种初等矩阵

      • 记作：Pl、Ql{\mathbf{P}}_l、{\mathbf{Q}}_l

    • 作用

      • 用于证明矩阵初等变换性质定理1

    • 初等矩阵性质

      • 初等矩阵【性质1】：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相等于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相等于在A的左边乘相应的n阶初等矩阵。设{\mathbf{A}}是一个m\times n矩阵，\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等行变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的m阶初等矩阵；\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等列变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的n阶初等矩阵。
      • 初等矩阵【性质2】：方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵，使A=P1P2⋯Pl方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow存在有限个初等矩阵，使{\mathbf{A}}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots{\mathbf{P}}_l
      • 初等矩阵【性质2推论】：方阵A可逆⇔A∼rE  （⇔∣A∣≠0⇔A是非奇异矩阵）方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow{\mathbf{A}}\overset r\sim{\mathbf{E}} ~~（\Leftrightarrow|\mathbf{A}|\neq0\Leftrightarrow\mathbf{A}是非奇异矩阵）

捋一下（自增）

捋一下：初等变换、初等矩阵与可逆矩阵（自增）

  • 一般矩阵与E{\mathbf{E}}的关系

    \begin{align} 任意非零矩阵&\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为行最简矩阵（首非零行所在列的其他元均为0）\\ &\Rightarrow经有限{\color{blue}行列}变换，可变为标准型矩阵（含{\mathbf{E}}子块）\\ &\Rightarrow经有限{\color{blue}行列}变换，可变为{\color{green}秩相等}的其他非零矩阵\tilde{\mathbf{A}} \\ 任意（可逆矩阵）非零方阵&\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为{\mathbf{E}}\\ &\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为任意其他可逆矩阵 \\ 任意初等矩阵&\Rightarrow经一次{\color{blue}行列变换}，可变为{\mathbf{E}} \end{align}

  • 行列变换与可逆矩阵的关系

    经过有限行列变换=左和右乘有限个初等矩阵=左和右乘某可逆矩阵经过有限次行变换=左乘有限个初等矩阵      =左乘某个可逆矩阵经过一次行列变换=左乘或右乘一个初等矩阵经过有限{\color{blue}行列}变换={\color{blue}左和右乘}有限个初等矩阵={\color{blue}左和右}乘某可逆矩阵\\ 经过有限次{\color{red}行}变换={\color{red}左乘}有限个初等矩阵~~ ~~ ~~ ={\color{red}左乘}某个可逆矩阵\\ 经过一次{\color{blue}行列}变换={\color{blue}左乘或右乘}一个初等矩阵

矩阵的秩

子式

  • 定义（行列式子式）
    • 在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式在m\times n矩阵{\mathbf{A}}中，任取k行与k列（k\leq m,k\leq n），位于这些行列交叉处的k^2个元素，\\ 不改变它们在{\mathbf{A}}中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵{\mathbf{A}}的k阶子式
    • 补充：m×n矩阵A的k阶行列式共有Cmk⋅Cnk个m\times n矩阵{\mathbf{A}}的k阶行列式共有C_m^k\cdot C_n^k个

秩

  • 定义

    • 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩等于零.设在矩阵{\mathbf{A}}中有一个不等于0的r阶子式{\mathbf{D}}，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，\\ 那么{\mathbf{D}}称为矩阵{\mathbf{A}}的最高阶非零子式，数r称为矩阵{\mathbf{A}}的秩，记作R({\mathbf{A}}).\\ 并规定零矩阵的秩等于零.
    • 简单来说：非零子式的最高阶数（这里的非零矩阵不是 “不是零矩阵” 的意思，而是 “不等于零的矩阵”）

  • 矩阵的秩的引理

    • 设A∼rB，则A与B中的非零子式的最高阶数（秩）相等（矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩）设{\mathbf{A}}\overset{r}\sim{\mathbf{B}}，则{\mathbf{A}}与{\mathbf{B}}中的非零子式的最高阶数（秩）相等\\ （矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩）
    • 引理推导结果为行列变换都不改变秩

  • 矩阵的秩的性质

    • 相等关系：转置和初等变换不改变秩
      • R(AT)=R(A)R({\mathbf{A^T}})=R({\mathbf{A}})
        • 若A∼B，则R(A)=R(B)若{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}，则R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{B}})，（定理2）
        • 若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)若{\mathbf{P}}、{\mathbf{Q}}可逆，则R({\mathbf{PAQ}})=R({\mathbf{A}})，（定理2推论）
    • 范围、特殊：
      • 0≤R(Am×n)≤min⁡{m,n}0\leq R({\mathbf{A}}_{m\times n})\leq \min\{m,n\}，（定义，范围，废话）
      • 若Am×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤n特别的，当A为列满秩矩阵：若AB=O，则B=O（矩阵乘法消去率）若{\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}={\mathbf{O}}，则R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{B}})\leq n\\特别的，当{\mathbf{A}}为列满秩矩阵：若{\mathbf{AB}}={\mathbf{O}}，则{\mathbf{B}}={\mathbf{O}}（矩阵乘法消去率）
    • 秩不等式：
      • 0\leq \begin{align} R({\mathbf{AB}})\leq \min\{R({\mathbf{A}}),R({\mathbf{B}})\}\leq\max\{R({\mathbf{A}}),R({\mathbf{B}})\} \\ R({\mathbf{A}}+{\mathbf{B}})=R({\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T) \end{align} \leq R({\mathbf{A}},{\mathbf{B}})=R\begin{pmatrix}{\mathbf{A}}^T\\{\mathbf{B}}^T\end{pmatrix}\leq R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{B}})
      • 简记：矩乘不能增秩、矩加增减于秩、拼接不能减秩、秩和必然加秩（非零矩阵）（初变不动于秩）                          运算之秩  ≤  拼接之秩  ≤  秩之加和矩乘不能增秩、矩加增减于秩、拼接不能减秩、秩和必然加秩（非零矩阵）（初变不动于秩） \\~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~运算之秩~~\leq~~拼接之秩~~\leq~~秩之加和

    （^可能不太好记，但必记）

  • 矩阵性质的例子：（花时间调了很多次，基本<和=都满足了）

    • A=(100100)，B=(001)，C=(110) XRmin⁡Rmax⁡R(A,X)R(A)+R(X)B1233C2224{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}， {\mathbf{B}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}， {\mathbf{C}}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\~ \\ \begin{matrix} {\mathbf{X}}&R\min&R\max&R({\mathbf{A}},{\mathbf{X}})&R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{X}})\\ {\mathbf{B}}&1&2&3&3\\ {\mathbf{C}}&2&2&2&4 \end{matrix}
    •  A=(100010000)，B=(000000001)，C=(1000−10000) XR(AX)≤Rmin⁡≤Rmax⁡≤R(A,X)≤R(A)+R(X)≥R(A+X)B012333C222241~\\ {\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}， {\mathbf{B}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}， {\mathbf{C}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\\~ \\ \begin{matrix} {\mathbf{X}}&R({\mathbf{AX}})&\leq R\min&\leq R\max&\leq R({\mathbf{A}},{\mathbf{X}})&\leq R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{X}})&\geq{\color{blue}{R({\mathbf{A}}+\mathbf{X}})}\\ {\mathbf{B}}&0&1&2&3&3&3\\ {\mathbf{C}}&2&2&2&2&4&1 \end{matrix}

  • 概念

    • 满秩矩阵：可逆矩阵（非奇异矩阵）⇔满秩矩阵可逆矩阵（非奇异矩阵）\Leftrightarrow满秩矩阵
    • 降秩矩阵：不可逆矩阵（奇异矩阵）⇔降秩矩阵不可逆矩阵（奇异矩阵）\Leftrightarrow降秩矩阵
    • 列满秩矩阵、行满秩矩阵

线性方程组的解

线性方程组的解

  • 线性方程组解【定理1】：n元线性方程组Ax=b：(1)（0=bi>0）无解⇔R(A)<R(A,b)(2)有惟一解⇔R(A)=R(A,b)=n(3)（xi=xi）有无限多解⇔R(A)=R(A,b)<nn元线性方程组{\mathbf{Ax}}={\mathbf{b}}：\\ \begin{aligned} (1)&&（0=b_i>0）无解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})<R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})\\ (2)&&有惟一解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})=n\\ (3)&&（x_i=x_i）有无限多解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})<n \end{aligned}
  • 线性方程组解【定理2】：(1) 线性方程组Ax=0有非零解⇔R(A)<n            （废话）(2) 线性方程组Ax=b有解      ⇔R(A)=R(A,b)（废话）(3) 矩阵方程   AX=B有解    ⇔R(A)=R(A,B)(1)~线性方程组{\mathbf{Ax}}=0有非零解\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})<n~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~（废话）\\ (2)~线性方程组{\mathbf{Ax}}={\mathbf{b}}有解~~ ~~ ~~\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})（废话）\\ (3)~矩阵方程~~ ~{\mathbf{AX}}={\mathbf{B}}有解~~ ~~\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{B}})

总结（自增）

定理总结

初等变换

  • 矩阵初等变换性质

    • 矩阵初等变换【定理】：设A{\mathbf{A}}与B{\mathbf{B}}为m×n矩阵m\times n矩阵，那么：

      A∼B⇔存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在m阶可逆矩阵{\mathbf{P}}及n阶可逆矩阵{\mathbf{Q}}，使{\mathbf{PAQ}}={\mathbf{B}}

  • 矩阵等价性质（同等号）

    • 矩阵等价【性质】反身性：A∼A{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{A}}
    • 矩阵等价【性质】对称性：若A∼B，则B∼A若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，则{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{A}}
    • 矩阵等价【性质】传递性：若A∼B，B∼C，则A∼C若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{C}}，则{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{C}}

  • 初等矩阵性质

    • 初等矩阵【性质1】：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相等于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相等于在A的左边乘相应的n阶初等矩阵。设{\mathbf{A}}是一个m\times n矩阵，\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等行变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的m阶初等矩阵；\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等列变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的n阶初等矩阵。
    • 初等矩阵【性质2】：方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵，使A=P1P2⋯Pl方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow存在有限个初等矩阵，使{\mathbf{A}}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots{\mathbf{P}}_l
    • 初等矩阵【性质2推论】：方阵A可逆⇔A∼rE  （⇔∣A∣≠0⇔A是非奇异矩阵）方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow{\mathbf{A}}\overset r\sim{\mathbf{E}} ~~（\Leftrightarrow|\mathbf{A}|\neq0\Leftrightarrow\mathbf{A}是非奇异矩阵）

  • 捋一下：初等变换、初等矩阵与可逆矩阵（自增）

    • 一般矩阵与E{\mathbf{E}}的关系

      \begin{align} 任意非零矩阵&\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为行最简矩阵（首非零行所在列的其他元均为0）\\ &\Rightarrow经有限{\color{blue}行列}变换，可变为标准型矩阵（含{\mathbf{E}}子块）\\ &\Rightarrow经有限{\color{blue}行列}变换，可变为{\color{green}秩相等}的其他非零矩阵 \\ 任意（可逆矩阵）非零方阵&\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为{\mathbf{E}}\\ &\Rightarrow经有限次{\color{red}行}变换，可变为任意其他可逆矩阵 \\ 任意初等矩阵&\Rightarrow经一次{\color{blue}行列变换}，可变为{\mathbf{E}} \end{align}

    • 行列变换与可逆矩阵的关系

      经过有限行列变换=左和右乘有限个初等矩阵=左和右乘某可逆矩阵经过有限次行变换=左乘有限个初等矩阵      =左乘某个可逆矩阵经过一次行列变换=左乘或右乘一个初等矩阵经过有限{\color{blue}行列}变换={\color{blue}左和右乘}有限个初等矩阵={\color{blue}左和右}乘某可逆矩阵\\ 经过有限次{\color{red}行}变换={\color{red}左乘}有限个初等矩阵~~ ~~ ~~ ={\color{red}左乘}某个可逆矩阵\\ 经过一次{\color{blue}行列}变换={\color{blue}左乘或右乘}一个初等矩阵

矩阵的秩

矩阵的秩的性质

  • 相等关系：转置和初等变换不改变秩
    • R(AT)=R(A)R({\mathbf{A^T}})=R({\mathbf{A}})
    • 若A∼B，则R(A)=R(B)若{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}，则R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{B}})，（定理2）
    • 若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)若{\mathbf{P}}、{\mathbf{Q}}可逆，则R({\mathbf{PAQ}})=R({\mathbf{A}})，（定理2推论）
  • 范围、特殊：
    • 0≤R(Am×n)≤min⁡{m,n}0\leq R({\mathbf{A}}_{m\times n})\leq \min\{m,n\}，（定义，范围，废话）
    • 若Am×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤n特别的，当A为列满秩矩阵：若AB=O，则B=O（矩阵乘法消去率）若{\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}={\mathbf{O}}，则R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{B}})\leq n\\特别的，当{\mathbf{A}}为列满秩矩阵：若{\mathbf{AB}}={\mathbf{O}}，则{\mathbf{B}}={\mathbf{O}}（矩阵乘法消去率）
  • 秩不等式：
    • 0\leq \begin{align} R({\mathbf{AB}})\leq \min\{R({\mathbf{A}}),R({\mathbf{B}})\}\leq\max\{R({\mathbf{A}}),R({\mathbf{B}})\} \\ R({\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T) \end{align} \leq R({\mathbf{A}},{\mathbf{B}})=R\begin{pmatrix}{\mathbf{A}}^T\\{\mathbf{B}}^T\end{pmatrix}\leq R({\mathbf{A}})+R({\mathbf{B}})
    • 简记：矩乘不能增秩、矩加增减于秩、拼接不能减秩、秩和必然加秩（非零矩阵）（初变不动于秩）                          运算之秩  ≤  拼接之秩  ≤  秩之加和矩乘不能增秩、矩加增减于秩、拼接不能减秩、秩和必然加秩（非零矩阵）（初变不动于秩） \\~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~运算之秩~~\leq~~拼接之秩~~\leq~~秩之加和

（^可能不太好记，但必记）

线性方程组的解

  • 线性方程组解【定理1】：n元线性方程组Ax=b：(1)（0=bi>0）无解⇔R(A)<R(A,b)(2)有惟一解⇔R(A)=R(A,b)=n(3)（xi=xi）有无限多解⇔R(A)=R(A,b)<nn元线性方程组{\mathbf{Ax}}={\mathbf{b}}：\\ \begin{aligned} (1)&&（0=b_i>0）无解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})<R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})\\ (2)&&有惟一解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})=n\\ (3)&&（x_i=x_i）有无限多解&\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})<n \end{aligned}
  • 线性方程组解【定理2】：(1) 线性方程组Ax=0有非零解⇔R(A)<n            （废话）(2) 线性方程组Ax=b有解      ⇔R(A)=R(A,b)（废话）(3) 矩阵方程   AX=B有解    ⇔R(A)=R(A,B)(1)~线性方程组{\mathbf{Ax}}=0有非零解\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})<n~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~（废话）\\ (2)~线性方程组{\mathbf{Ax}}={\mathbf{b}}有解~~ ~~ ~~\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{b}})（废话）\\ (3)~矩阵方程~~ ~{\mathbf{AX}}={\mathbf{B}}有解~~ ~~\Leftrightarrow R({\mathbf{A}})=R({\mathbf{A}},{\mathbf{B}})

题型

解线性方程组