线性代数特殊章

目录

矩阵的范数、迹、谱

参考资料：

• 【CSDN】弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）
• 【知乎】矩阵范数（Norm）、矩阵的迹（trace）、矩阵的谱（spectrum）（主要参考）

范数（Norm）

下面几个是什么概念？

• 矩阵范数
• 诱导范数
• 矩阵元范数

举例

1-norm

列元素绝对值之和的最大值，或者A的列范数

$$\begin{align} ||A||_1=& \max_{X\in R^n,||X||\not=0} \frac{||AX||_1}{||X||_1}\\ =& \max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \end{align}$$

2-norm

欧几里德范数，也叫 2-范数

$$~ \begin{align} ||A||_2=& \max_{X\in R^n,||X||\not=0} \frac{||AX||_2}{||X||_2}\\ =& \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}=\sigma_{\max}(A)\\~\\ 其中，||A^{-1}||_2=& \frac 1{\lambda_{\min}(A)}=\frac 1{\min_{x\neq0}\frac {||Ax||_2}{||x||_2}} \end{align}\\~\\ 其中，\lambda为A^TA的特征值中绝对值的最大者。对于实矩阵来说是A^TA，对于负矩阵来说是 A*A$$

$\infty$-norm

行元素绝对值之和的最大值，或者A的行范数

$$\begin{align} ||A||_{\infty}=& \max_{X\in R^n,||X||\not=0} \frac{||AX||_\infty}{||X||_\infty}\\ =& \max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| \end{align}$$

F-norm

弗罗贝尼乌斯范数 (Frobenius Norm) ，简称 F-范数

定义为矩阵A各项元素的绝对值平方的总和再开方

$$\begin{align} ||A||_F=& \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}\\ =& \sqrt{\text{trace}(A*A)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,n\}} \sigma_i^2} \end{align}$$

诱导范数

诱导范数的左边是矩阵范数, 右边是向量范数

总结一下

1. $p=1$和$p=\infty$情况下，分别是最大列绝对值之和，最大行绝对值之和
2. 若满足$p=2$（欧几里德范数）时，诱导的矩阵范数就是 “谱范数”
3. 矩阵$A$的谱范数是$A$最大的奇异值或半正定矩阵$A*A$的最大特征值的平方根（$A*$是$A$的共轭矩阵）

$||A||_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^*A)}$（对于实矩阵$A$，则$A^*$就是$A^T$）

迹（Trance）

目前我还用不上，懒得写

谱（Spectrum）

目前我还用不上，懒得写