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线性代数

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线性代数

目录

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矩阵及其运算

线性方程组

线性方程组

  • n元非齐次线性方程组
    • 定义：常数项b1,b2,⋯ ,bmb_1,b_2,\cdots,b_m不全为零
  • n元齐次线性方程组
    • 定义：常数项b1,b2,⋯ ,bmb_1,b_2,\cdots,b_m全为零
    • 性质：
      • x1=x2=⋯=xn=0x_1=x_2=\cdots=x_n=0一定是它的解。该解叫做零解，其他解是非零解
      • 必有零解，不一定有非零解

矩阵的定义

（这里我个人重排了一下章节结构）

线性方程组与矩阵

  • 定义

    • 由m×n个数aij（i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n）排成的m行n列的数表为m行n列矩阵，简称m×n矩阵（为表示是一个整体，总是加一个括弧并用大写黑体字母表示它）A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)由m\times n个数a_{ij}（i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n）排成的m行n列的数表为m行n列矩阵，简称m\times n矩阵\\ （为表示是一个整体，总是加一个括弧并用大写黑体字母表示它）\\ {\mathbf{A}}=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn} \end{pmatrix}
    • 记作：A 或 Am×n，(aij) 或 (aij)m×n（aij为(i,j)元的矩阵）{\mathbf{A}}~或~{\mathbf{A}}_{m\times n}，(a_{ij})~或~(a_{ij})_{m\times n}（a_{ij}为(i,j)元的矩阵）

  • 概念

    • 元素，元，矩阵A的(i,j)元矩阵A的(i,j)元

  • 矩阵分类

    • 按元素是否实数：实矩阵、复矩阵

    • 按元素是否全零：零矩阵O{\mathbf{O}}、非零矩阵

    • 按主对角线之外为零：单位阵E{\mathbf{E}}、纯量阵λE\lambda{\mathbf{E}}、对角阵Λ=diag(λ1,λ1,⋯ ,λ1){\mathbf{\Lambda}}=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_1,\cdots,\lambda_1)

    • 按行列数量是否相等：n阶矩阵、n阶方阵

    • 按行列数量是否为一：行矩阵（/行向量）、列矩阵（/列向量）

    • 按与线性方程组的关系：系数矩阵A{\mathbf{A}}、未知数矩阵x{\mathbf{x}}、常数项矩阵b{\mathbf{b}}、增广矩阵B{\mathbf{B}}

      A=(aij)，x=(x1x2⋮xn)，b=(b1b2⋮bn),B=(a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amnbn){\mathbf{A}}=(a_{ij})， {\mathbf{x}}=\begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n} \end{pmatrix}， {\mathbf{b}}=\begin{pmatrix} b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n} \end{pmatrix}, {\mathbf{B}}=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}& b_2\\ \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn}& b_n \end{pmatrix}

  • 矩阵关系

    • 同型矩阵：行数、列数均相等
    • 矩阵相等：aij=bij，A=Ba_{ij}=b_{ij}，{\mathbf{A}}={\mathbf{B}}

矩阵运算（加、减、乘、幂）

加法

  • 定义
    • A+B=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b11a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmm)\mathbf{A}+\mathbf{B}= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{11}& a_{22}+b_{22}& \cdots& a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots& a_{mn}+b_{mm} \end{pmatrix}
  • 矩阵运算性质【加法】（完全同代数加法，交换律和结合律）
    • A+B=B+A\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}
    • (A+B)+C=A+(B+C)(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})

乘法（数乘、减法）

  • 定义
    • λA=Aλ=(λa11λa12⋯λa1nλa21λa22⋯λa2n⋮⋮⋮λam1λam2⋯λamn)\lambda{\mathbf{A}}={\mathbf{A}}\lambda= \begin{pmatrix} {\lambda}a_{11}& {\lambda}a_{12}& \cdots& {\lambda}a_{1n}\\ {\lambda}a_{21}& {\lambda}a_{22}& \cdots& {\lambda}a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ {\lambda}a_{m1}& {\lambda}a_{m2}& \cdots& {\lambda}a_{mn} \end{pmatrix}
  • 矩阵运算性质【数乘、减法】（完全同代数乘法，交换律和结合率和分配率）（有了数乘后就定义了减法）
    • λA=Aλ，（λ为−1时，−A为负矩阵）\lambda{\mathbf{A}}={\mathbf{A}}\lambda，（\lambda为-1时，-\mathbf{A}为负矩阵）
    • (λμ)A=λ(μA)(\lambda\mu)\mathbf{A}=\lambda(\mu\mathbf{A})
    • (λ+μ)A=λA+μA，λ(A+B)=λA+λB(\lambda+\mu)\mathbf{A}=\lambda\mathbf{A}+\mu\mathbf{A}， \lambda(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda\mathbf{A}+\lambda\mathbf{B}

乘法（矩乘）

  • 定义
    • 设A=(aij)是一个m×s矩阵，B=(bij)是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A×B是一个m×n矩阵C=(cij)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj=∑k=1saikbkj（i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n）并把此乘积记作C=AB设\mathbf{A}=(a_{ij})是一个{\color{blue}m}\times {\color{red}s}矩阵，\mathbf{B}=(b_{ij})是一个{\color{red}s}\times {\color{green}n}矩阵，\\ 那么规定矩阵\mathbf{A}\times\mathbf{B}是一个{\color{blue}m}\times {\color{green}n}矩阵C=(c_{ij})，其中\\ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}++a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}（i=1,2,\cdots,m;~j=1,2,\cdots,n）\\ 并把此乘积记作\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}
  • 记法
    • 计算：（A）（\mathbf{A}）行乘列（B）（\mathbf{B}）
    • 书写：（C）（\mathbf{C}）列再行（C）（\mathbf{C}）
    • 结果：（A）（\mathbf{A}）行跟列（B）（\mathbf{B}）
    • 前提：（A）（\mathbf{A}）列同行（B）（\mathbf{B}）
  • 矩阵运算性质【矩乘】（不全同于代数乘法，顺序相关。不满足交换律但满足结合率和分配率）
    • AB=AB可交换时BA\mathbf{AB}\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{BA}
    • (AB)C=A(BC)，λ(AB)=(λA)B=A(λB)(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})， \lambda(\mathbf{A}\mathbf{B})=(\lambda\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda\mathbf{B})
    • A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}， (\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}
  • 补充
    • 关于不满足交换律的补充
      • 左乘右乘不等价
      • 非方阵交换后必无意义
      • 若方阵AB=BA\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}，则称这两个方阵是可交换的
    • 关于结合律和分配率的补充
      • 若原式的运算可行（左项列数同右项行数均成立），则使用结合或分配率后的运算也必可行
    • 对于单位矩阵：EmAm×n=Am×nEn=Am×n{\color{red}\mathbf{E}_m}\mathbf{A}_{m\times n}= \mathbf{A}_{m\times n}{\color{blue}\mathbf{E}_n}= \mathbf{A}_{m\times n}，简写EA=AE=A{\color{red}\mathbf{E}}\mathbf{A}=\mathbf{A}{\color{blue}\mathbf{E}}=\mathbf{A}，注意两个E\mathbf{E}并不一样！
    • 对于纯量矩阵：(λEm)Am×n=Am×n(λEn)=λAm×n(\lambda{\color{red}\mathbf{E}_m})\mathbf{A}_{m\times n}= \mathbf{A}_{m\times n}(\lambda{\color{blue}\mathbf{E}_n})= \lambda\mathbf{A}_{m\times n}，注意两个E\mathbf{E}并不一样！

幂方

  • 定义
    • An\mathbf{A}_n需要为方阵，其幂为Ank\mathbf{A}_n^k
  • 矩阵运算性质【幂方】（不全同于代数的幂，顺序相关。矩阵乘法不满足交换律，但单矩阵的幂符合）
    • AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl\mathbf{A}^k\mathbf{A}^l=\mathbf{A}^{k+l}，(\mathbf{A}^{k})^l=\mathbf{A}^{kl}
    • ABAB⋯AB=(AB)k≠AkBk=AA⋯A×BB⋯B\mathbf{AB}\mathbf{AB}\cdots\mathbf{AB}=(\mathbf{AB})^{k}{\color{red}\neq} \mathbf{A}^{k}\mathbf{B}^{k}=\mathbf{AA\cdots A}\times\mathbf{BB\cdots B}

四则结合运算

  • 矩阵运算性质【四则结合】
    • (A+B)2=A2+AB+BA+B2=AB可交换时A2+2AB+B2(\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\mathbf{A}^2+\mathbf{AB}+\mathbf{BA}+\mathbf{B}^2\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2
    • (A∓B)(A±B)=A2±AB∓BA−B2=AB可交换时A2−B2(\mathbf{A}\mp\mathbf{B})(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\mathbf{A}^2\pm\mathbf{AB}\mp\mathbf{BA}-\mathbf{B}^2\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{A}^2-\mathbf{B}^2

矩阵运算（转置、行列式）

转置

  • 定义

    • 把矩阵A\mathbf{A}的行换成同序数的列，得到其转置矩阵
    • 记作：AT\mathbf{A}^T

  • 矩阵运算性质【转置】（矩阵向量的旋转，不要理解成幂）

    • (AT)T=A(\mathbf{A}^T)^T=\mathbf{A}
    • (A+B)T=AT+BT(\mathbf{A}+\mathbf{B})^T=\mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T
    • (λA)T=λAT(\lambda\mathbf{A})^T=\lambda\mathbf{A}^T（记法：常数转置等于自身）
    • (AB)T=BTAT(\mathbf{AB})^T=\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T（记法：转置后左乘数的列不等于右乘数的行）

  • 手算法理解（自创）

    • 加法：左手伸4个手指向上并视作A\mathbf{A}，右手神4个手指向左并视作B\mathbf{B}，手指重叠视为向加（同型矩阵，手指数相同）

    • 乘法：左手伸1个手指向上并视作A\mathbf{A}，右手神2个手指向左并视作B\mathbf{B}，手指重叠视为向乘（不一定同型，同型则为方阵）

      ​ 其中当仅当左手方向为纵而右手方向为横时可以进行乘法

      ​ 当两矩阵为同型方阵时不受此限制，并均伸4手指表示，但要和加法区分开

    • 转置：双手都沿着主对角线翻转，但因为只考虑行列的数量关系，故可以简化为双手旋转90°

  • 补充

    • 如果方阵A满足AT=A，即aij=aji，那么A称为对称矩阵，简称对称阵如果方阵\mathbf{A}满足\mathbf{A}^T=\mathbf{A}，即a_{ij}=a_{ji}，那么\mathbf{A}称为对称矩阵，简称对称阵

方阵行列式

  • 定义
    • 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式由n阶方阵\mathbf{A}的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵\mathbf{A}的行列式
    • 记作：∣A∣ 或 det⁡A|\mathbf{A}|~或~\det\mathbf{A}
  • 矩阵运算性质【行列式】（矩阵向量的模）
    • ∣AT∣=∣A∣=∣A∣T|\mathbf{A}^T|=|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}|^T
    • ∣λA∣=λn∣A∣|\lambda\mathbf{A}|=\lambda^n|\mathbf{A}|（记法：不记，直接用行列式和矩阵与数乘法的区别来理解）
    • ∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣BA∣→可推得∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1→可推得∣A−1∣=∣A∣−1|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=|\mathbf{BA}|\xrightarrow{可推得} |\mathbf{A}||\mathbf{A}^{-1}|=|\mathbf{E}|=1\xrightarrow{可推得} |\mathbf{A}^{-1}|=|\mathbf{A}|^{-1}（方阵，这条不太直观）

矩阵运算（逆矩阵、除）

伴随矩阵（引概念）

  • 定义

    • 行列式∣A∣的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵det⁡(Aji) 或 det⁡(Aij)T，称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵行列式|\mathbf{A}|的各个元素的代数余子式\mathbf{A}_{ij}所构成的矩阵\det(\mathbf{A}_{\color{red}ji})~或~\det(\mathbf{A}_{ij})^T，称为矩阵\mathbf{A}的伴随矩阵，简称伴随阵
    • 记作：A∗\mathbf{A}^*

  • 性质（就是用来做逆矩阵的引理的）

    • AA∗=A∗A=∣A∣E=(∣A∣∣A∣⋱∣A∣)\mathbf{A}\mathbf{A}^*=\mathbf{A}^*\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}= \begin{pmatrix} |\mathbf{A}|\\ &|\mathbf{A}|\\ &&\ddots\\ &&&|\mathbf{A}| \end{pmatrix}
    • AA−1=A−1A=AE=A\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{E}=\mathbf{A}，（形式和逆矩阵有点像）

  • 补充

    • 这个伴随矩阵就是个“引概念”，没有自己的用处，唯一用处就是为了方便描述逆矩阵的求值

      就像“余子式”，没有自己的用处，唯一用处就是为了方便描述“代数余子式”

逆矩阵、除法

  • 定义

    • 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，把B称为A的逆矩阵，简称逆阵对于n阶矩阵\mathbf{A}，如果有一个n阶矩阵\mathbf{B}，使\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{E}，\\ 则说矩阵\mathbf{A}是可逆的，把\mathbf{B}称为\mathbf{A}的逆矩阵，简称逆阵
    • 记作：A−1\mathbf{A}^{-1}

  • 矩阵运算性质【逆矩阵、除法】（矩阵向量的倒数、有了倒数后就定义了矩阵的除法）

    • 可逆之可逆：(A−1)−1=A，（其中若A可逆，则A−1可逆）(A^{-1})^{-1}=A， （其中若\mathbf{A}可逆，则\mathbf{A}^{-1}可逆）
    • 转置之可逆：(AT)−1=(A−1)T，（其中若A可逆，则AT可逆）(\mathbf{A}^T)^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^T， （其中若\mathbf{A}可逆，则\mathbf{A}^T可逆）
    • 积之可逆(1)：(λA)−1=1λA−1，（其中若A可逆，则λA可逆（数λ≠0）(\lambda\mathbf{A})^{-1}=\frac 1\lambda \mathbf{A}^{-1}， （其中若\mathbf{A}可逆，则\lambda\mathbf{A}可逆（数\lambda\neq0）
    • 积之可逆(2)：(AB)−1=B−1A−1，（其中若A、B可逆（且为同阶矩阵），则AB亦可逆）(\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}， （其中若\mathbf{A}、\mathbf{B}可逆（且为同阶矩阵），则\mathbf{AB}亦可逆）

  • 矩阵性质和求法【逆矩阵】（矩阵向量的倒数，但不像代数倒数那样好变或好求）

    • 逆矩阵【定理1】逆矩阵公式：A−1=1∣A∣A∗，（其中若∣A∣≠0，则矩阵A可逆）（其中A∗为矩阵A的伴随矩阵）引理：AA∗=A∗A=∣A∣E引理易证：利用代数余子式定理（行列式展开法则）的推论：ri行元素∗rj的代数余子式=0推论易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*，（其中若|\mathbf{A}|\neq0，则矩阵\mathbf{A}可逆）（其中\mathbf{A}^*为矩阵\mathbf{A}的伴随矩阵）\\ 引理：\mathbf{A}\mathbf{A}^*=\mathbf{A}^*\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}\\ 引理易证：利用代数余子式定理（行列式展开法则）的推论：r_{i}行元素*r_{j}的代数余子式=0\\ 推论易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同

      （^这条可能不太好理解和记忆，但太重要、要背）

    • 逆矩阵【定理2】可逆充要条件：A可逆⇒∣A∣≠0（引理）A可逆⇔∣A∣≠0⇔A是非奇异矩阵（引理、定理1齐证之）\mathbf{A}可逆\Rightarrow|\mathbf{A}|\neq0（引理）\\ \mathbf{A}可逆\Leftrightarrow|\mathbf{A}|\neq0\Leftrightarrow\mathbf{A}是非奇异矩阵（引理、定理1齐证之）

    • 逆矩阵【定理3】可逆的唯一性：若逆矩阵可逆，则逆矩阵唯一（引理）（易证：B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C）若AB=E（或BA=E），则B=A−1（引理、定理2齐证之）若逆矩阵可逆，则逆矩阵唯一（引理）\\ （易证：\mathbf{B}=\mathbf{BE}=\mathbf{B}(\mathbf{AC})=(\mathbf{BA})\mathbf{C}=\mathbf{EC}=\mathbf{C}）\\ 若\mathbf{AB}=\mathbf{E}（或\mathbf{BA}=\mathbf{E}），则\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}（引理、定理2齐证之）

    • 逆矩阵【求法】逆矩阵公式：用伴随矩阵求，A−1=1∣A∣A∗\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*

  • 应用

    • 矩阵的四则运算齐全，可以进行矩阵的方程求解（注意矩阵乘除具有方向）
      • 有了数乘法就相当于定义了矩阵减法
      • 有了逆矩阵就相当于定义了矩阵除法
    • 可以用逆矩阵公式解n元线性方程组

矩阵分块法

分块矩阵

  • 定义
    • 分块：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块将矩阵\mathbf{A}用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为\mathbf{A}的子块
    • 分块矩阵：以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
    • 记作：A=(A11A12A21A22)\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11}& \mathbf{A}_{12}\\ \mathbf{A}_{21}& \mathbf{A}_{22} \end{pmatrix}
  • 分块矩阵运算性质（与普通矩阵的运算规则相类似）
    • 分块矩阵性质【加法】：同普通矩阵（需要从用相同的分块法）
    • 分块矩阵性质【数乘】：同普通矩阵
    • 分块矩阵性质【矩乘】：同普通矩阵（需要左列数同右行数，且分块后仍如此）
    • 分块矩阵性质【转置】：整体转置后，子块也需要转置（加符号符号）

分块对角矩阵

  • 定义
    • 设A为n阶方阵，若A分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=(A1OA2⋱OAs)设\mathbf{A}为n阶方阵，若\mathbf{A}分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即\\ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \mathbf{A}_1&&&\mathbf{O}\\ &\mathbf{A}_2\\ &&\ddots\\ \mathbf{O}&&&\mathbf{A}_s \end{pmatrix}
  • 分块对角矩阵运算性质
    • 分块对角矩阵性质【行列式】：∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}_1||\mathbf{A}_2|\cdots|\mathbf{A}_s|
    • 分块对角矩阵性质【逆矩阵】：A−1=(A1−1OA2−1⋱OAs−1)\mathbf{A}^{-1}= \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1^{-1}&&&\mathbf{O}\\ &\mathbf{A}_2^{-1}\\ &&\ddots\\ \mathbf{O}&&&\mathbf{A}_s^{-1} \end{pmatrix}

解线性方程组（克拉默法则）

克拉默法则

  • 描述：如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，那么方程组有唯一解，即：∣A∣=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)≠0⇒{x1=A1Ax2=A2A⋮xn=AnA其中Aj是把系数矩A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵。即：Aj=(a11⋯a1,j−1b1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1bnan,j+1⋯ann)=∑i=1nbiAij如果线性方程组的系数矩阵\mathbf{A}的行列式不等于零，那么方程组有唯一解，即：\\ |\mathbf{A}|= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn} \end{pmatrix} \neq0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\frac{\mathbf{A_1}}{\mathbf{A}}\\ x_2=\frac{\mathbf{A_2}}{\mathbf{A}}\\ \vdots\\ x_n=\frac{\mathbf{A_n}}{\mathbf{A}} \end{matrix}\right.\\ 其中\mathbf{A_j}是把系数矩\mathbf{A}中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵。即：\\ \mathbf{A_j}= \begin{pmatrix} a_{11}& \cdots& a_{1,j-1}& b_{1}& a_{1,j+1}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& & \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{n,j-1}& b_{n}& a_{n,j+1}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}= \sum_{i=1}^n b_i\mathbf{A}_{ij}

  • 利弊

    • 限制：方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零

  • 证明

    • 克拉默法则：因为Ax=b，所以x=A−1b，解得原式成立因为\mathbf{Ax}=\mathbf{b}，所以\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}，解得原式成立

逆矩阵求法

  • 描述：使用逆矩阵公式A−1=1∣A∣A∗\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*，有x=A−1b=1∣A∣A∗b\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}=\frac1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*\mathbf{b}
  • 利弊
    • 限制：无

解n元线性方程组（总结五种方法）

方法名方法运算量（以3元3次为例）
传统方法拆开看，方程与方程之间互相结合化简
克拉默法则xn=AnAx_n=\frac{\mathbf{A_n}}{\mathbf{A}}4个3阶det⁡\det
逆矩阵求法$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}=\frac1{\mathbf
矩阵初等变换把矩阵化简为行最简矩阵不算det，若干个二级运算
矩阵的秩使用矩阵的秩的性质来求、并判断方程组的解的结构

总结（自增）

符号总结（课本）

记法（值）含义
A、Am×n、An{\mathbf{A}}、{\mathbf{A}}_{m\times n}、{\mathbf{A}}_n矩阵、m×nm\times n矩阵、nn阶方阵
(aij) 、 (aij)m×n(a_{ij})~、~(a_{ij})_{m\times n}由aija_{ij}组成的矩阵、m×nm\times n矩阵
aija_{ij}元素 / 元 / (i,j)元(i,j)元
A、x、b、B{\mathbf{A}}、{\mathbf{x}}、{\mathbf{b}}、{\mathbf{B}}系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵、增广矩阵
O{\mathbf{O}}零矩阵
E、 λE{\mathbf{E}}、~\lambda{\mathbf{E}}单位阵、纯量阵
Λ=diag(λ1,λ1,⋯ ,λ1){\mathbf{\Lambda}}=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_1,\cdots,\lambda_1)对角阵
−A、AT-{\mathbf{A}}、\mathbf{A}^T负矩阵、转置矩阵
A−1、A∗{\mathbf{A}}^{-1}、{\mathbf{A}}^*逆矩阵 / 逆阵、伴随阵 / 代数余子转置阵^自命名
(a、α、x等)、(aT、αT、xT等)(\mathbf{a}、\mathbf{\alpha}、\mathbf{x}等)、(\mathbf{a}^T、\mathbf{\alpha}^T、\mathbf{x}^T等)列向量、行向量
$\mathbf
（有名字但不配拥有符号）对称阵、奇异矩阵、非奇异矩阵
——————下章————————————下章——————
Pl、Ql{\mathbf{P}}_l、{\mathbf{Q}}_l初等矩阵
R(A)R({\mathbf{A}})矩阵的秩
（有名字但不配拥有符号）行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准型矩阵
满秩矩阵、降秩矩阵、列满秩矩阵
记法（关系）含义
（有名字但不配拥有符号）同型矩阵
A=B{\mathbf{A}}={\mathbf{B}}矩阵相等
——————下章————————————下章——————
（有名字但不配拥有符号）同解矩阵
A∼rB、A∼cB、A∼B{\mathbf{A}}\overset{r}\sim{\mathbf{B}}、{\mathbf{A}}\overset{c}\sim{\mathbf{B}}、{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}矩阵行等价、矩阵列等价、矩阵等价

定理总结（课本）

矩阵运算性质

  • 矩阵运算性质【加法】（完全同代数加法，交换律和结合律）
    • A+B=B+A\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}
    • (A+B)+C=A+(B+C)(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})
  • 矩阵运算性质【数乘、减法】（完全同代数乘法，交换律和结合率和分配率）（有了数乘后就定义了减法）
    • λA=Aλ，（λ为−1时，−A为负矩阵）\lambda{\mathbf{A}}={\mathbf{A}}\lambda，（\lambda为-1时，-\mathbf{A}为负矩阵）
    • (λμ)A=λ(μA)(\lambda\mu)\mathbf{A}=\lambda(\mu\mathbf{A})
    • (λ+μ)A=λA+μA，λ(A+B)=λA+λB(\lambda+\mu)\mathbf{A}=\lambda\mathbf{A}+\mu\mathbf{A}， \lambda(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda\mathbf{A}+\lambda\mathbf{B}
  • 矩阵运算性质【矩乘】（不全同于代数乘法，顺序相关。不满足交换律但满足结合率和分配率）
    • AB=AB可交换时BA\mathbf{AB}\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{BA}
    • (AB)C=A(BC)，λ(AB)=(λA)B=A(λB)(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})， \lambda(\mathbf{A}\mathbf{B})=(\lambda\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda\mathbf{B})
    • A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}， (\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}
  • 矩阵运算性质【幂方】（不全同于代数的幂，顺序相关。矩阵乘法不满足交换律，但单矩阵的幂符合）
    • AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl\mathbf{A}^k\mathbf{A}^l=\mathbf{A}^{k+l}，(\mathbf{A}^{k})^l=\mathbf{A}^{kl}
    • ABAB⋯AB=(AB)k≠AkBk=AA⋯A×BB⋯B\mathbf{AB}\mathbf{AB}\cdots\mathbf{AB}=(\mathbf{AB})^{k}{\color{red}\neq} \mathbf{A}^{k}\mathbf{B}^{k}=\mathbf{AA\cdots A}\times\mathbf{BB\cdots B}
  • 矩阵运算性质【四则结合】
    • (A+B)2=A2+AB+BA+B2=AB可交换时A2+2AB+B2(\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\mathbf{A}^2+\mathbf{AB}+\mathbf{BA}+\mathbf{B}^2\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2
    • (A∓B)(A±B)=A2±AB∓BA−B2=AB可交换时A2−B2(\mathbf{A}\mp\mathbf{B})(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\mathbf{A}^2\pm\mathbf{AB}\mp\mathbf{BA}-\mathbf{B}^2\xlongequal{AB可交换时}\mathbf{A}^2-\mathbf{B}^2
  • 矩阵运算性质【转置】（不要理解成幂）
    • (AT)T=A(\mathbf{A}^T)^T=\mathbf{A}
    • (A+B)T=AT+BT(\mathbf{A}+\mathbf{B})^T=\mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T
    • (λA)T=λAT(\lambda\mathbf{A})^T=\lambda\mathbf{A}^T（记法：常数转置等于自身）
    • (AB)T=BTAT(\mathbf{AB})^T=\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T（记法：转置后左乘数的列不等于右乘数的行）
  • 矩阵运算性质【行列式】
    • ∣AT∣=∣A∣=∣A∣T|\mathbf{A}^T|=|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}|^T
    • ∣λA∣=λn∣A∣|\lambda\mathbf{A}|=\lambda^n|\mathbf{A}|（记法：不记，直接用行列式和矩阵与数乘法的区别来理解）
    • ∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣BA∣→可推得∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1→可推得∣A−1∣=∣A∣−1|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=|\mathbf{BA}|\xrightarrow{可推得} |\mathbf{A}||\mathbf{A}^{-1}|=|\mathbf{E}|=1\xrightarrow{可推得} |\mathbf{A}^{-1}|=|\mathbf{A}|^{-1}（方阵，这条不太直观）
  • 矩阵运算性质【逆矩阵、除法】（矩阵向量的倒数、有了倒数后就定义了矩阵的除法）
    • 可逆之可逆：(A−1)−1=A，（其中若A可逆，则A−1可逆）(A^{-1})^{-1}=A， （其中若\mathbf{A}可逆，则\mathbf{A}^{-1}可逆）
    • 转置之可逆：(AT)−1=(A−1)T，（其中若A可逆，则AT可逆）(\mathbf{A}^T)^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^T， （其中若\mathbf{A}可逆，则\mathbf{A}^T可逆）
    • 积之可逆(1)：(λA)−1=1λA−1，（其中若A可逆，则λA可逆（数λ≠0）(\lambda\mathbf{A})^{-1}=\frac 1\lambda \mathbf{A}^{-1}， （其中若\mathbf{A}可逆，则\lambda\mathbf{A}可逆（数\lambda\neq0）
    • 积之可逆(2)：(AB)−1=B−1A−1，（其中若A、B可逆（且为同阶矩阵），则AB亦可逆）(\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}， （其中若\mathbf{A}、\mathbf{B}可逆（且为同阶矩阵），则\mathbf{AB}亦可逆）

逆矩阵性质和求法（补充）

矩阵性质和求法【逆矩阵】（矩阵向量的倒数，但不像代数倒数那样好变或好求）

  • 逆矩阵【定理1】逆矩阵公式：A−1=1∣A∣A∗，（其中若∣A∣≠0，则矩阵A可逆）（其中A∗为矩阵A的伴随矩阵）引理：AA∗=A∗A=∣A∣E引理易证：利用代数余子式定理（行列式展开法则）的推论：ri行元素∗rj的代数余子式=0推论易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*，（其中若|\mathbf{A}|\neq0，则矩阵\mathbf{A}可逆）（其中\mathbf{A}^*为矩阵\mathbf{A}的伴随矩阵）\\ 引理：\mathbf{A}\mathbf{A}^*=\mathbf{A}^*\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}\\ 引理易证：利用代数余子式定理（行列式展开法则）的推论：r_{i}行元素*r_{j}的代数余子式=0\\ 推论易证：展开式还原回行列式后，新行列式必有两行（列）相同

    （^这条可能不太好理解和记忆，但太重要、要背）

  • 逆矩阵【定理2】可逆充要条件：A可逆⇒∣A∣≠0（引理）A可逆⇔∣A∣≠0⇔A是非奇异矩阵（引理、定理1齐证之）\mathbf{A}可逆\Rightarrow|\mathbf{A}|\neq0（引理）\\ \mathbf{A}可逆\Leftrightarrow|\mathbf{A}|\neq0\Leftrightarrow\mathbf{A}是非奇异矩阵（引理、定理1齐证之）

  • 逆矩阵【定理3】可逆的唯一性：若逆矩阵可逆，则逆矩阵唯一（引理）（易证：B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C）若AB=E（或BA=E），则B=A−1（引理、定理2齐证之）若逆矩阵可逆，则逆矩阵唯一（引理）\\ （易证：\mathbf{B}=\mathbf{BE}=\mathbf{B}(\mathbf{AC})=(\mathbf{BA})\mathbf{C}=\mathbf{EC}=\mathbf{C}）\\ 若\mathbf{AB}=\mathbf{E}（或\mathbf{BA}=\mathbf{E}），则\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}（引理、定理2齐证之）

  • 逆矩阵【求法】逆矩阵公式：用伴随矩阵求，A−1=1∣A∣A∗\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*

（逆矩阵和伴随矩阵：这两种很难通过矩阵的群论变换得到，计算较复杂。其中逆矩阵的求法又依赖于伴随矩阵的值）

分块矩阵运算性质

分块矩阵运算性质（与普通矩阵的运算规则相类似）

  • 分块矩阵性质【加法】：同普通矩阵（需要从用相同的分块法）
  • 分块矩阵性质【数乘】：同普通矩阵
  • 分块矩阵性质【矩乘】：同普通矩阵（需要左列数同右行数，且分块后仍如此）
  • 分块矩阵性质【转置】：整体转置后，子块也需要转置（加符号符号）

分块对角矩阵运算性质

  • 分块对角矩阵性质【行列式】：∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}_1||\mathbf{A}_2|\cdots|\mathbf{A}_s|
  • 分块对角矩阵性质【逆矩阵】：A−1=(A1−1OA2−1⋱OAs−1)\mathbf{A}^{-1}= \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1^{-1}&&&\mathbf{O}\\ &\mathbf{A}_2^{-1}\\ &&\ddots\\ \mathbf{O}&&&\mathbf{A}_s^{-1} \end{pmatrix}

应用总结（课本）

解n元线性方程组（克拉默法则）

解n元线性方程组

  • 克拉默法则
    • 描述：如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，那么方程组有唯一解，即：∣A∣=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)≠0⇒{x1=A1Ax2=A2A⋮xn=AnA其中Aj是把系数矩A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵。即：Aj=(a11⋯a1,j−1b1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1bnan,j+1⋯ann)=∑i=1nbiAij如果线性方程组的系数矩阵\mathbf{A}的行列式不等于零，那么方程组有唯一解，即：\\ |\mathbf{A}|= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots& a_{mn} \end{pmatrix} \neq0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\frac{\mathbf{A_1}}{\mathbf{A}}\\ x_2=\frac{\mathbf{A_2}}{\mathbf{A}}\\ \vdots\\ x_n=\frac{\mathbf{A_n}}{\mathbf{A}} \end{matrix}\right.\\ 其中\mathbf{A_j}是把系数矩\mathbf{A}中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵。即：\\ \mathbf{A_j}= \begin{pmatrix} a_{11}& \cdots& a_{1,j-1}& b_{1}& a_{1,j+1}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& & \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{n,j-1}& b_{n}& a_{n,j+1}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}= \sum_{i=1}^n b_i\mathbf{A}_{ij}
    • 限制：方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零
  • 逆矩阵求法
    • 描述：使用逆矩阵公式A−1=1∣A∣A∗\mathbf{A}^{-1}=\frac 1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*，有x=A−1b=1∣A∣A∗b\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}=\frac1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*\mathbf{b}
  • 矩阵初等变换
    • 描述：把矩阵化简为行最简矩阵（后文的方法）

解n元线性方程组（总结五种方法）

方法名方法运算量（以3元3次为例）
传统方法拆开看，方程与方程之间互相结合化简
克拉默法则xn=AnAx_n=\frac{\mathbf{A_n}}{\mathbf{A}}4个3阶det⁡\det
逆矩阵求法$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}=\frac1{\mathbf
矩阵初等变换把矩阵化简为行最简矩阵不算det，若干个二级运算
矩阵的秩使用矩阵的秩的性质来求、并判断方程组的解的结构

概念总结（课本）下章

矩阵初等变换

矩阵初等变换

  • 矩阵初等变换【定理1】：设A{\mathbf{A}}与B{\mathbf{B}}为m×n矩阵m\times n矩阵，那么：​
    • A∼rB⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B{\mathbf{A}}\overset{r}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在m阶可逆矩阵{\mathbf{P}}，使{\mathbf{PA}}={\mathbf{B}}
    • A∼cB⇔存在n阶可逆矩阵P，使AQ=B{\mathbf{A}}\overset{c}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在n阶可逆矩阵{\mathbf{P}}，使{\mathbf{AQ}}={\mathbf{B}}
    • A∼B⇔存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B{\mathbf{A}}\sim{\mathbf{B}}\Leftrightarrow存在m阶可逆矩阵{\mathbf{P}}及n阶可逆矩阵{\mathbf{Q}}，使{\mathbf{PAQ}}={\mathbf{B}}

矩阵等价性质（同等号）

  • 矩阵等价【性质】反身性：A∼A{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{A}}
  • 矩阵等价【性质】对称性：若A∼B，则B∼A若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，则{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{A}}
  • 矩阵等价【性质】传递性：若A∼B，B∼C，则A∼C若{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{B}}，{\mathbf{B}}\sim {\mathbf{C}}，则{\mathbf{A}}\sim {\mathbf{C}}

初等矩阵性质

  • 初等矩阵【性质1】：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相等于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相等于在A的左边乘相应的n阶初等矩阵。设{\mathbf{A}}是一个m\times n矩阵，\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等行变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的m阶初等矩阵；\\ 对{\mathbf{A}}施行一次初等列变换，相等于在{\mathbf{A}}的左边乘相应的n阶初等矩阵。
  • 初等矩阵【性质2】：方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵，使A=P1P2⋯Pl方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow存在有限个初等矩阵，使{\mathbf{A}}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots{\mathbf{P}}_l
  • 初等矩阵【性质2推论】：方阵A可逆⇔A∼rE  （⇔∣A∣≠0⇔A是非奇异矩阵）方阵{\mathbf{A}}可逆\Leftrightarrow{\mathbf{A}}\overset r\sim{\mathbf{E}} ~~（\Leftrightarrow|\mathbf{A}|\neq0\Leftrightarrow\mathbf{A}是非奇异矩阵）

矩阵变换 （自推）

数字阵变换

  • 分类1（ 线性变换）
    • 整体变换 / 全元素变换
      • 纵横对称、对角线对称（方阵）
      • 90°旋转、180°旋转
      • 共运算
    • 行（列）变换
      • 交换（同解变换）
      • 共运算（四则运算）
    • 元素变换 / 分割变换（元素变换一般伴随分割变换，不太可能元素改变而整体性质不变）
      • 分割
  • 分类2（特殊变换、非线性变换）
    • 伴随矩阵
    • 逆矩阵
  • 规则
    • 行（列）变换：见矩阵的初等变换，与行列式行（列）变换不同的是矩阵行列不等价
    • 元素（区域）变换 / 分割变换：见矩阵分块法
    • 整体变换：见初等矩阵

整体变换

  • 主对角线对称：逆矩阵
  • 初等矩阵

变换组合（变换加法）

  • 举例：详见基本矩阵扩展（自增）一零矩阵一章

常见变换矩阵

线性变换类矩阵

  • 使用方法：(xy)\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}与变换矩阵相乘（矩阵乘法）
  • 投影变换矩阵：(1000)\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 0 \end{pmatrix}
  • 旋转变换矩阵：(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)n=(cos⁡nφ−sin⁡nφsin⁡nφcos⁡nφ)\begin{pmatrix} \cos\varphi& -\sin\varphi\\ \sin\varphi& \cos\varphi \end{pmatrix}^{\color{red}n}= \begin{pmatrix} \cos{\color{red}n}\varphi& -\sin{\color{red}n}\varphi\\ \sin{\color{red}n}\varphi& \cos{\color{red}n}\varphi \end{pmatrix}

常用矩阵（自增）

基本矩阵

基本矩阵

  • 分块对角矩阵：详见后面的基本矩阵扩展（对角线阵与分块对角矩阵）

基本矩阵扩展（一零矩阵）（自推）

（非常有用）

一零矩阵，矩阵中只有一和零（理解并主要记单位矩阵和x投影矩阵两个，其他的就能快速推导出来）（建议配合矩阵变换的整体变换食用）

  • 投影矩阵：
    • x投影矩阵：(1000)(abcd)=(ab00)\begin{pmatrix} \color{red}1& 0\\ 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a& b\\ 0& 0 \end{pmatrix}
    • y投影矩阵：(0001)(abcd)=(00cd)\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0& \color{red}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0& 0\\ c& d \end{pmatrix}
  • 投影并交换矩阵：
    • y投影并交换矩阵：(0100)(abcd)=(cd00)\begin{pmatrix} 0& \color{red}1\\ 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c& d\\ 0& 0 \end{pmatrix}
    • x投影并交换矩阵：(0010)(abcd)=(00ab)\begin{pmatrix} 0& 0\\ \color{red}1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0& 0\\ a& b \end{pmatrix}
  • 对角线阵：
    • 正单位矩阵：(1001)(abcd)=(abcd)=x投影矩阵+y投影矩阵\begin{pmatrix} \color{red}1& 0\\ 0& \color{red}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix} =x投影矩阵+y投影矩阵
    • 反单位矩阵：$\begin{pmatrix} 0& \color{red}1\ \color{red}1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c& d\ a& b \end{pmatrix}=x投影并交换矩阵+y投影并交换矩阵=横向对称 $
  • 其他：
    • （1）：(1100)(abcd)=(a+cb+d00)=x投影矩阵+y投影并交换矩阵\begin{pmatrix} \color{red}1& \color{red}1\\ 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a+c& b+d\\ 0& 0 \end{pmatrix}= x投影矩阵+y投影并交换矩阵
    • （2）：(0011)(abcd)=(00a+cb+d)=x投影并交换矩阵+y投影矩阵\begin{pmatrix} 0& 0 \\\color{red}1& \color{red}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& b\\ c& d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0& 0\\ a+c& b+d \end{pmatrix}= x投影并交换矩阵+y投影矩阵
  • 初等矩阵：
    • 见后章

基本矩阵扩展（对角线阵与分块对角矩阵）

对角线阵

  • 正单位矩阵：不变
  • 反单位矩阵：横向对称
  • 正对角线阵：各行乘以对应系数
  • 反对角线阵：先横向对称，后各行乘以对应系数（不可对调）

分块对角矩阵

  • 分块对角矩阵

题型（自增）

题型

证明题

  • 矩阵运算性质4（行列式）证明过程
    • ∣A∣∣B∣=∣A0−EB∣=利用E∣AX−E0∣=(−1)n∣−E0AX∣=(−1)n(−1)n∣E∣∣X∣=∣X∣=∣AB∣|\mathbf{A}||\mathbf{B}|= \begin{vmatrix} \mathbf{A}& \mathbf{0}\\ -\mathbf{E}& \mathbf{B} \end{vmatrix} \xlongequal{\color{red}利用\mathbf{E}} \begin{vmatrix} \mathbf{A}& \mathbf{X}\\ -\mathbf{E}& \mathbf{0} \end{vmatrix} =(-1)^n\begin{vmatrix} -\mathbf{E}& \mathbf{0}\\ \mathbf{A}& \mathbf{X} \end{vmatrix} =(-1)^n(-1)^n|\mathbf{E}||\mathbf{X}|=|\mathbf{X}|=|AB|

求值题

  • 矩阵行列式求值

求矩阵

  • 求逆矩阵

容错点

  • ∣A0−EX∣=不止一次交换(−1)n∣−EXA0∣≠−∣−EXA0∣\begin{vmatrix} \mathbf{A}& \mathbf{0}\\ -\mathbf{E}& \mathbf{X} \end{vmatrix} \xlongequal{\color{red}不止一次交换} (-1)^n\begin{vmatrix} -\mathbf{E}& \mathbf{X}\\ \mathbf{A}& \mathbf{0} \end{vmatrix} \neq -\begin{vmatrix} -\mathbf{E}& \mathbf{X}\\ \mathbf{A}& \mathbf{0} \end{vmatrix}

错题集

矩阵与行列式同异（自增）

矩阵与行列式看起来很相似，其实不然

矩阵与行列式同异（列表版）

  • 形式上

    • 相同点：都是数字阵（仅辅助符号不同）
    • 不同点：
      • 行列式：必须为方阵
      • 矩阵 ：可为非方阵

  • 含义上

    • 不同点
      • 行列式：相当于向量的模（或面积体积），能够直接求值
      • 矩阵 ：相当于向量本身（或多个向量），不能直接求值

  • 作用上

    • 相同点：都能用来解多元线性方程
    • 不同点：方法的本质（和适用场景）完全不同
      • 行列式：本质是克莱姆法则的应用，有局限性（限定方程组必须是n个方程n个未知数 且 要求系数行列式不等于0 ）
      • 矩阵 ：用系数矩阵和增广矩阵的秩的关系解，没有局限性
      • 使用场景：当系数阵是方阵的时候，可以用行列式。当不是方阵，就得用逆矩阵方法（事实上逆矩阵方法步骤更少、更快）

  • 性质和运算规则

    • 相同点：都能进一些同样的变换。一些完全相同的运算规则：
      • 行变换1：ri↔rjr_i\leftrightarrow r_j
      • 行变换2：ri→ri+krjr_i\rightarrow r_i+kr_j
    • 不同点：变换的性质完全不同，大多数规则也不同
      • 最大区别：矩阵的行与列不等价
      • 常数乘法
      • 整体变换：主对角线对称：转置行列式DTD^T和逆矩阵A−1A^{-1}

矩阵与行列式同异（表格版）

对比项行列式矩阵共同点
形式上必须为方阵可为非方阵都是数字阵（仅符号不同）
含义上相当于向量的模（或面积体积），能够直接求值相当于向量本身（或多个向量），不能直接求值
解方程组本质本质是克莱姆法则的应用用系数矩阵和增广矩阵的秩的关系解都能解线性方程组
解方程组局限有局限性
（1）方程组必须是n个方程n个未知数
（2）系数行列式不等于0		没有局限性
性质和运算规则行与列等价
常数乘法		行与列不等价
常数乘法		行变换1：ri↔rjr_i\leftrightarrow r_j
行变换2：ri→ri+krjr_i\rightarrow r_i+kr_j