线性代数

目录

行列式与矩阵 - 整体比较

应用

行列式

• 解n元n列线性方程组（克拉默法则的应用）
• 作为矩阵性质证明的引理
• 对矩阵运算的中间过程提供引概念和符号

矩阵

• 最简单的应用就是解多项式方程，特别是成千上百个多项式方程时（可以用计算机进行矩阵运算）

几何意义

$l=2\sqrt{(a^2+b^2)}\sqrt{(c^2+d^2)}\cos(\frac d{\sqrt{c^2+d^2}}-\frac a{\sqrt{a^2+b^2}})$

公式证明：

$S=ad-\frac{cd}2-\frac{ab}2-\frac{(a-c)(d-b)}2\\ S=\frac12[2ad-cd-ab+(-ad+ab+cd-cb)]\\ S=ad-bc$

行列式与矩阵 - 本质意义

知乎：行列式的意义是什么？

从第一次接触线性代数到现在已经六年了，感觉这门学科还是很有意思的，里面的向量矩阵在处理问题时很实用也很有实际意义。 但行列式这玩意，在线代里从头用到尾的东西，到底代表着什么呢？？有什么实际的物理意义？应该不仅仅是特征值的乘积吧？

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边对应着对应矩阵的列 如果学生得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细的隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多重线性形式理论的一部分。 倘若用别的方式来定义行列式，任何敏感的人都将会永远痛恨诸如行列式，Jacobian式，以及隐函数定理这些东西。

——俄国数学家阿诺尔德（Vladimir Arnold）《论数学教育》

行列式与矩阵 - 解方程组应用

方法汇总

行列式

矩阵

行列式与矩阵 - 变换

表格

线性变换

变换方式	矩阵	行列式

非线性变换

行列式

矩阵

• 分类1（ 群论变换）
  • 整体变换 / 全元素变换
    • 纵横对称、对角线对称（方阵）
    • 90°旋转、180°旋转
    • 共运算
  • 行（列）变换
    • 交换（同解变换）
    • 共运算（四则运算）
  • 元素变换 / 分割变换（元素变换一般伴随分割变换，不太可能元素改变而整体性质不变）
    • 分割
• 分类2（特殊变换、非群论变换）
  • 伴随矩阵
  • 逆矩阵
• 规则
  • 行（列）变换：见矩阵的初等变换，与行列式行（列）变换不同的是矩阵行列不等价
  • 元素（区域）变换 / 分割变换：见矩阵分块法
  • 整体变换：见下

整体变换

• 主对角线对称：逆矩阵

变换组合（变换加法）

• 举例：详见基本矩阵扩展（自增）一零矩阵一章

变换过程与模（行列式和秩）