函数变换

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纲要

反函数、对称函数

$d$ ：相当于将数权降低一阶，如 $x\rightarrow dx$
（注意 $d$ 的结合性是最高的，比平方还高， $dx^2=(dx)^2\neq d(x^2)$ ， $ddy=d(dy)\neq d1dy$ ）
$\int$ ：相当于将数权提高一阶，如 $dx\rightarrow\int dx=x，即\int1dx$

$\begin{aligned} &\begin{aligned} y&，原始数权&\int y&，高一阶数权\\ dx&，负一阶数权&\int dx&，原始数权\\ ydx&，负一阶数权&\int ydx&，原始数权\\ \end{aligned} \\~\\ &\begin{aligned} Dy&=\frac{dy}{dx}=\frac{y'dx}{dx}=y'&&，原始数权\\ D^2y&=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}=\frac{dy'\frac{dx}{dx}}{dx}=\frac{y''dx}{dx}\\ &=\frac{ddy}{dx\cdot dx}=\frac{dy'\cdot dx}{dx\cdot dx}=\frac{y''dx\cdot dx}{dx\cdot dx}\\ &=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{(dx)^2}\neq \frac{d^2y}{d(x^2)}&&，左侧原始数权，右侧高一阶数权 \end{aligned}\\ \end{aligned}$

简概
- 如果将乘法全部定义为线性运算则无需考虑维，如 $2x$ ，又如上面 “常见微积分表达式的权” 中全部假定为线性运算
- 但有时会有维度运算，如 $x\cdot y$ ，如定积分，如带单位运算（同/不同单位）
场景
- 一般运算时考虑权是一件很麻烦的事情，对于一个常数而言，他可能是x轴量，也可能是y轴量，还可能是xy积的量，根本无从分辨
- 除非带物理单位，又或者是对于积分、特别是定积分而言，在式子中考虑维才有意义

高数里有几个比较难记的公式

~~六大三角函数包含其反函数，的导数公式~~（已解决，六边形记法）
曲率公式
积分 - 扩展积分表
~~一阶线性微分方程的通式公式~~（不想记公式，常数变易法又太麻烦了，最后的策略是使用新的方法——求导公式法）
二阶/n阶常系数齐次/非齐次线性公式（第三个不记公式挺难搞的） $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
或， $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$
或， $y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
各种审敛法