《高等数学》

目录

[toc]

定积分

定积分的概念与性质

定义

• 定义（这个定义有点长）

  • 原定义：$设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点：\\ a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\\ 把区间[a,b]分成了n个小区间：\\ [x_0,x_1]，[x_1,x_2]，\cdots，[x_{n-1},x_n]\\ 各小区间的长度依次为：（不需要均等）\\ \Delta x_1=x_1-x_0，\Delta x_2=x_2-x_1，\cdots，\Delta x_n=x_n-x_{n-1}\\~\\ 在每个小区间[x_{i-1},x_i]上任取一点\xi_i，作函数f(\xi_i)与小区间长度\Delta x_i的乘积f(\xi_i)\Delta x_i\\ 并作出和S=\sum_{i=i}^nf(\xi_i)\Delta x_i，记\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}，\\ 如果当\lambda\rightarrow0时，这和的极限总存在，且与闭区间[a,b]的分法及点\xi_i的取法无关，\\ 那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分）$

  • 定义表述：

    $$\exist I，\forall\varepsilon>0，\exists\delta>0，当\lambda=max\{\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n\}<\delta，总有 |\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon$$

  • 记作：$\int_a^bf(x)dx\\即\int_a^bf(x)dx=I=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x$

• 概念
  • 曲边梯形、曲边
  • 被积函数$f(x)$、被积表达式$f(x)dx$、积分变量$x$
  • 积分下限$a$、积分上限$b$、积分区间$[a,b]$

定积分的近似求解

（仅作介绍，不会用）

1. 矩形法
2. 梯形法
3. 抛物线法（辛普森法）

性质

定积分存在定理

• 可积【定理1】：$设f(x)在区间[a,b]上连续\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积$
• 可积【定理2】：$设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积$

定积分性质

• 定积分【性质1】纵向相加性0（废话）：$设\alpha与\beta均为常数，则\\ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx$
• 定积分【性质2】横向相加性0（废话）：$设a<c<b，则\\ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
• 定积分【性质3】恒成立性质1（废话）：$如果在区间[a,b]上f(x)\equiv1，那么\\ \int_a^b1dx=\int_a^bdx=b-a$
• 定积分【性质4】恒成立性质2（废话）：$如果在区间[a,b]上f(x)\geq0，那么\\ \int_a^b f(x)dx\geq0~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【推论1】恒成立性质3（废话）：$如果在区间[a,b]上f(x)\leq g(x)，那么\\ \int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b g(x)dx~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【性质5】恒成立性质4（废话）：$设M及m分布是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则\\ m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【性质6】定积分中值定理：$如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点\xi，使下式成立：\\ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)~~~ ~~~（a\leq \xi\leq b）$

积分上限的函数、及其导数

积分上限函数定理

（注意：定积分与积分变量的记法无关，$dx$通常被记作$dt$）

• 积分上限函数【定理1】：$如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,b]上可导，并且它的导数\\ \Phi'(x)=\frac d{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)~~~ ~~~（a\leq x\leq b）$

• 积分上限函数【定理2】：$如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数\Phi (x)=\int_a^x f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数$

积分法则

牛顿 - 莱布尼茨公式

• 牛顿莱布尼兹公式（也叫微积分基本定理）：$如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么\\ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

换元积分法和分部积分法（定积分）

（不定积分也有换元积分法和分部积分法，这里是定积分的情况，换元法对应的是第二类换元法）

• 换元积分法：$假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=\varphi (t)满足条件\\ (1)~\varphi(\alpha)=a，\varphi(\beta)=b\\ (2)~\varphi(t)在[\alpha,\beta]（或[\beta,\alpha]）上具有连续导数，且其值域R_\varphi=[a,b]\\ 则有：\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi)d\varphi\\ （理解：第二类换元法是x\leftarrow\varphi，\varphi([\alpha,\beta])\Leftrightarrow[a,b]）$

• 分部积分法：$\int_a^b uv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx\\ 或\int_a^b udv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu\\ （理解：和不定积分的分部积分法基本相同）$

反常积分

无穷限的反常积分

• 定义
  • $(1)~设函数f(x)在区间[~a,+\infty)上连续，对极限\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t f(x)dx：\\ 如果存在，~~~那么称反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$
  • $(2)~设函数f(x)在区间(-\infty,b~]上连续，对极限\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^b f(x)dx：\\ 如果存在，~~~那么称反常积分\int_{-\infty}^b f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_{-\infty}^b f(x)dx发散$
  • $(3)~设函数f(x)在区间(-\infty,+\infty)上连续，对积分\int_{-\infty}^0 f(x)dx和\int_0^{+\infty} f(x)dx：\\ 如果均存在，那么称反常积分\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx收敛，并称两积分之和为该反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx发散$

无界函数的反常积分

• 定义
  • $(1)~设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，对极限\lim_{t\rightarrow a^+}\int_t^b f(x)dx：\\ 如果存在，~~~那么称反常积分\int_a^b f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_a^b f(x)dx发散$
  • $(2)~设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，对极限\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^t f(x)dx：\\ 如果存在，~~~那么称反常积分\int_a^b f(x)dx收敛，并称此极限为反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_a^b f(x)dx发散$
  • $(3)~设函数f(x)在区间[a,c)\cup(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点，对积分\int_a^c f(x)dx和\int_c^b f(x)dx：\\ 如果均存在，那么称反常积分\int_a^b f(x)dx收敛，并称两积分之和为该反常积分的值；\\ 如果不存在，那么称反常积分\int_a^b f(x)dx发散$
• 概念
  • 瑕点（也称无界间断点）
  • 瑕积分（无界函数的反常积分）

反常积分的审敛法、$\Gamma$函数

无穷限 - 反常积分的审敛法

• 无穷反常积分审敛【1】单调有界法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 若函数F(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,+\infty)上有上界，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛$
• 无穷反常积分审敛【2】比较审敛原理：$设函数f(x)，g(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果0\leq f(x)\leq g(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ 如果0\leq g(x)\leq f(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx发散，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也发散$
• 无穷反常积分审敛【3】比较审敛法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)（a>0）上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数M>0及p>1，~~~使得f(x)\leq\frac M{x^p}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（p=1），使得f(x)\geq\frac N{x^1}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$
• 无穷反常积分审敛【4】极限审敛法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数p>1，~~~~~~~~~~~~~~~~使得\lim_{x\rightarrow+\infty}x^p f(x)=c<+\infty，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow+\infty}xf(x)=d>0（或=+\infty）,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$
• 无穷反常积分审敛【5】绝对收敛法：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果反常积分\int_a^{+\infty}|f(x)|dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ ~\\通常满足该条件的反常积分绝对收敛，也可表述为：绝对收敛的反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx必定收敛$

无界函数 - 反常积分审敛法

• 无界反常积分审敛【1】比较审敛法：$设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数M>0及q<1，~~~使得f(x)\leq\frac M{(x-a)^q}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（q=1），使得f(x)\leq\frac N{(x-a)^1}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx发散$
• 无界反常积分审敛【2】极限审敛法：$设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数0<q<1，使得\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^qf(x)存在，那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^1f(x)=d>0（或=+\infty），~~~~~~~~那么\int_a^bf(x)dx发散$

$\Gamma$函数（Gamma）

• 定义
  • $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx~~~~~~（s>0）$
• 性质
  • $递推公式：\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)~~~（s>0）$
  • $当s\rightarrow0^+时，\Gamma(s)\rightarrow+\infty$
  • $余元公式：\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}~~~（0<s<1）$
  • $在\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx中，作代换x=u^2，有：\\ \Gamma(s)=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}u^{2s-1}du，再令2s-1=t或s=\frac{1+t}2，有：\\ \int_0^{+\infty}e^{-u^2}u^t du=\frac12\Gamma(\frac{1+t}2)~~~（t>-1）\\ 上式左端是实际应用中常见的积分，其值可以通过上式用\Gamma函数计算出来$

总结（自增）

总结（自增）

概念总结

• 英文
  • 辛普森：Simpson

定理总结

定积分性质

定积分存在定理

• 可积【定理1】：$设f(x)在区间[a,b]上连续\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积$
• 可积【定理2】：$设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点\Rightarrow f(x)在[a,b]上可积$

定积分性质

• 定积分【性质1】：$设\alpha与\beta均为常数，则\\ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx$
• 定积分【性质2】：$设a<c<b，则\\ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
• 定积分【性质3】：$如果在区间[a,b]上f(x)\equiv1，那么\\ \int_a^b1dx=\int_a^bdx=b-a$
• 定积分【性质4】：$如果在区间[a,b]上f(x)\geq0，那么\\ \int_a^b f(x)dx\geq0~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【性质4推论1】：$如果在区间[a,b]上f(x)\leq g(x)，那么\\ \int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b g(x)dx~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【性质5】：$设M及m分布是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则\\ m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)~~~ ~~~（a<b）$
• 定积分【性质6】定积分中值定理：$如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点\xi，使下式成立：\\ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)~~~ ~~~（a\leq \xi\leq b）$

积分上限函数定理

（注意：定积分与积分变量的记法无关，$dx$通常被记作$dt$）

• 积分上限函数【定理1】：$如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,b]上可导，并且它的导数\\ \Phi'(x)=\frac d{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)~~~ ~~~（a\leq x\leq b）$

• 积分上限函数【定理2】：$如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数\Phi (x)=\int_a^x f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数$

牛顿 - 莱布尼茨公式

• 牛顿莱布尼兹公式（也叫微积分基本定理）：$如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么\\ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

换元积分法和分部积分法（定积分版）

• 换元积分法：$假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=\varphi (t)满足条件\\ (1)~\varphi(\alpha)=a，\varphi(\beta)=b\\ (2)~\varphi(t)在[\alpha,\beta]（或[\beta,\alpha]）上具有连续导数，且其值域R_\varphi=[a,b]\\ 则有：\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi)d\varphi\\ （理解：第二类换元法是x\leftarrow\varphi，\varphi([\alpha,\beta])\Leftrightarrow[a,b]）$

• 分部积分法：$\int_a^b uv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx\\ 或\int_a^b udv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu\\ （理解：和不定积分的分部积分法基本相同）$

无穷限 - 反常积分的审敛法

• 无穷反常积分审敛【1】单调有界法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 若函数F(x)=\int_a^x f(t)dt在[a,+\infty)上有上界，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛$
• 无穷反常积分审敛【2】比较审敛原理：$设函数f(x)，g(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果0\leq f(x)\leq g(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ 如果0\leq g(x)\leq f(x)（a\leq x<+\infty），并且\int_a^{+\infty}g(x)dx发散，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也发散$
• 无穷反常积分审敛【3】比较审敛法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)（a>0）上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数M>0及p>1，~~~使得f(x)\leq\frac M{x^p}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（p=1），使得f(x)\geq\frac N{x^1}（a\leq x<+\infty），那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$
• 无穷反常积分审敛【4】极限审敛法 ：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq0.\\ 如果存在常数p>1，~~~~~~~~~~~~~~~~使得\lim_{x\rightarrow+\infty}x^p f(x)=c<+\infty，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow+\infty}xf(x)=d>0（或=+\infty）,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~那么\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$
• 无穷反常积分审敛【5】绝对收敛法：$设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续.\\ 如果反常积分\int_a^{+\infty}|f(x)|dx收敛，那么\int_a^{+\infty}f(x)dx也收敛\\ ~\\通常满足该条件的反常积分绝对收敛，也可表述为：绝对收敛的反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx必定收敛$

无界函数 - 反常积分审敛法

• 无界反常积分审敛【1】比较审敛法：$设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数M>0及q<1，~~~使得f(x)\leq\frac M{(x-a)^q}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果存在常数N>0（q=1），使得f(x)\leq\frac N{(x-a)^1}（a<x\leq b），那么\int_a^bf(x)dx发散$
• 无界反常积分审敛【2】极限审敛法：$设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)\geq0，x=a为f(x)的瑕点.\\ 如果存在常数0<q<1，使得\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^qf(x)存在，那么\int_a^bf(x)dx收敛\\ 如果\lim_{x\rightarrow a^+}(x-a)^1f(x)=d>0（或=+\infty），~~~~~~~~那么\int_a^bf(x)dx发散$

题型

p253，例12，证明定积分公式