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《高等数学》

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《高等数学》

目录

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导数与微分

导数概念

导数

  • 定义

    • 原定义

      设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；如果ΔyΔx当Δx→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f′(x)，即：设函数y=f(x)在点x_0的某个领域内有定义，\\ 当自变量x在x_0处取得增量\Delta x（点x_0+\Delta x仍在该邻域内）时，因变量取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)；\\ 如果\frac{\Delta y}{\Delta x}当\Delta x\rightarrow0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数\\ 记为f'(x)，即：

      f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx  f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\~\\

    • 记作：f′(x0)、y′∣x=x0、dydx∣x=x0、df(x)dx∣x=x0f'(x_0)、y'|_{x=x_0}、\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{x=x_0}、\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}|_{x=x_0}

  • 意义

    • 数字意义：函数变化率
    • 几何意义：切线方程斜率

  • 概念

    • 导函数
      • 记作：f′(x)、y′、dydx、df(x)dxf'(x)、y'、\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}、\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}
    • 单侧导数
      • 左导数右导数（类似于左极限右极限）

  • 可导性、连续性、极限

    • f(x)在x处左右极限存在（且不为无穷）且相等⇔f(x)在x处可导⇒f(x)在x处连续⇔f(x)在x处左右极限存在f(x)在x处左右极限存在（且不为无穷）且相等\Leftrightarrow f(x)在x处可导{\color{red}\Rightarrow} f(x)在x处连续\Leftrightarrow f(x)在x处左右极限存在
    • 连续不一定可导的反例：y=x3、折线图等y=\sqrt[3]{x}、折线图等

斜率补充（个人补充）

（切函数、倒函数（倒数函数）、负函数我也不知道是不是这么叫，名字拟定）

斜率斜率表示函数图像函数式子
原函数切线斜率y′y'或dydx\frac{dy}{dx}原图像y=f(x) 或 y=f(x)+by=f(x)~或~y=f(x)+b
原函数法线斜率−1y′-\frac1{y'}无（对应于点，法线垂直于各点切线）(y−y0)=k(x−x0)(y-y_0)=k(x-x_0)
切函数切线斜率−1y′-\frac1{y'}（略）（略）
倒函数切线斜率−f′(x)f(x)2-\frac{f'(x)}{f(x)^2}坐标轴分区并极限缩放后，原图像沿着线y=1线y=1对称y=1f(x)y=\frac1{f(x)}
负函数切线斜率−y′-y'原图像沿x轴x轴对称y=−f(x)y=-f(x)
反函数切线斜率1y′\frac1{y'}或dxdy\frac{dx}{dy}或1dydx\frac{1}{\frac{dy}{dx}}原图像连坐标轴沿直线y=x直线y=x对称x=f(y)x=f(y)或y=f−1(x)y=f^{-1}(x)

函数的求导法则

求导法则（繁琐版）

求导法则（繁琐版）（可跳过，后面有精简版）

  • 求导法则【定理1】和差积商：如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和差积商（除分母为0的点外）都在点x具有导数，且（1）[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)（2）[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)（3）[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)（v(x)≠0）如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和差积商（除分母为0的点外）都在点x具有导数，且\\ （1）[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\\ （2）[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ （3）[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}（v(x)\neq0）

  • 求导法则【定理2】反函数：如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)在区间Ix={x∣x=f(y),y∈Iy}内也可导，且[f−1(x)]′=1f′(y)  或  dydx=1dxdy如果函数x=f(y)在区间I_y内单调、可导且f'(y)\neq0，\\ 那么它的反函数y=f^{-1}(x)在区间I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\}内也可导，且\\ [f^{-1}(x)]'=\frac 1{f'(y)}~~或~~\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}

  • 求导法则【定理3】复合函数：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导.那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为f′(x)=dydx=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudx如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导.那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为\\ f'(x)=\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

基本求导法则与导数公式（要背）

导数公式

  • 导数公式【1】常量 / 幂函数类

    • (C)′=0(C)'=0
    • (xμ)′=μxμ−1(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}

  • 导数公式【2】三角与反三角类

    • \begin{align} (\sin x)'&=\cos x& (\cos x)'&={\color{red}-}\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2 x& (\cot x)'&={\color{red}-}\csc^2 x\\ (\sec x)'&=\sec x\tan x& (\csc x)'&={\color{red}-}\csc x\cot x\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}}& (\arccos x)'&={\color{red}-}\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2}& (arccot~x)'&={\color{red}-}\frac1{1+x^2}'\\ (arcsec~x)'&=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}&(arccsc~x)'&={\color{red}-}\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{align}

  • 导数公式【3】对数指数类

    • \begin{align} &（1）(a^x)'=a^x\ln a（a>0,a\neq1） &&（2）(e^x)'=e^x\\ &（3）(log_ax)'=\frac1{x\ln a}（a>0,a\neq1) &&（4）(\ln x)'=\frac1x \end{align}

求导法则（精简版）

  • 求导法则【定理1简写】和差积商：\begin{align} &（1）(u\pm v)'=u'\pm v' &&（2）(Cu)'=Cu'（C是常数）\\ &（3）(uv)'=u'v+uv' &&（4）(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}（v\neq0） \end{align}
  • 求导法则【定理2】反函数：[f−1(x)]′=1f′(y)  或  dydx=1dxdy[f^{-1}(x)]'=\frac 1{f'(y)}~~或~~\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
  • 求导法则【定理3】复合函数：f′(x)=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudxf'(x)=f'(u)\cdot g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

三角函数补充（自增）

高中不用csc⁡、sec⁡、cot⁡\csc、\sec、\cot，而大学不学直接就用。这里补充一下关系和性质等

求导式值英文名中文口诀等价值
(sin⁡x)′(\sin x)'+cos⁡x{\color{blue}+}\cos xsine正弦−余弦{\color{blue}正}弦 - 余弦——
(cos⁡x)′(\cos x)'−sin⁡x{\color{red}-}\sin xcosine$${\color{red}余}弦 - 正弦{\color{red}（负）}$$——
(tan⁡x)′(\tan x)'+sec⁡2x{\color{blue}+}\sec^2 xtangent（旧版tgtg）$${\color{blue}正}切 - 正割割$$——
(cot⁡x)′(\cot x)'−csc⁡2x{\color{red}-}\csc^2 xcotangent$${\color{red}余}切 - 余割割{\color{red}（负）}$$(1tan⁡x)′(\frac1{\tan x})'倒数关系
(sec⁡x)′(\sec x)'+sec⁡xtan⁡x{\color{blue}+}\sec x\tan xsecant$${\color{blue}正}割 - 正割切$$(1cos⁡x)′(\frac1{\cos x})'倒数关系
(csc⁡x)′(\csc x)'−csc⁡xcot⁡x{\color{red}-}\csc x\cot xcosecant$${\color{red}余}割 - 余割切{\color{red}（负）}$$(1sin⁡x)′(\frac1{\sin x})'倒数关系
(arcsin⁡x)′(\arcsin x)'+11−x2{\color{blue}+}\frac1{\sqrt{1-x^2}}——$$反{\color{blue}正}弦$$反函数关系
(arccos⁡x)′(\arccos x)'−11−x2{\color{red}-}\frac1{\sqrt{1-x^2}}——$$反{\color{red}余}弦{\color{red}（负）}$$反函数关系
(arctan⁡x)′(\arctan x)'+11+x2{\color{blue}+}\frac1{1+x^2}——$$反{\color{blue}正}切$$反函数关系
(arccot x)′(arccot~x)'−11+x2{\color{red}-}\frac1{1+x^2}——$$反{\color{red}余}切{\color{red}（负）}$$反函数关系
(arcsec x)′(arcsec~x)'${\color{blue}+}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$——
(arccsc x)′(arccsc~x)'${\color{red}-}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$——

三角函数导数记法（六边形记法）

  • 位置与函数名关系

    • 左正右余（余都是c开头），上弦下割中切

  • 位置与相互联系（仅普通三角函数可用）

    • 对角线倒数（对角线互为导数，例如csc⁡=1sin⁡\csc=\frac1\sin）
    • 倒三角平方和（上两个的平方和等于下面的平方，例如sec⁡2=tan⁡2+12\sec^2=\tan^2+1^2）
    • 邻点积（自身等于相邻两个的积，例如sin⁡=cos⁡⋅tan⁡\sin=\cos\cdot\tan）

  • 导数口诀（普通三角和反三角函数通用，图二要全部变为倒数）

    • 上互换，下2中，中下下

      （意象辅助记忆：飞机在天空来回会面，想象一个球沿着最速降线下落，往上抛起一块石头到达高点又落下来）

      （图二中，1−x2\sqrt{1-x^2}还是x2−1\sqrt{x^2-1}想一下函数图像长什么样子就能判断出来，不用记）

      （图二中，sin和cos的对外性质完全没用，只是为了对称和好记（对内永远是相减）才这样写的）

    • 左导为正，右导为负

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题型（自增）

求导数题

  • 定义求法：最原始的方法

通用型化简技巧

  • 减元法（部分）：通用：(x+b)c−xcb=xc−1⋅(1+bx)c−1bx通用：\frac{(x+b)^c-x^c}{b}=x^{c-1}\cdot\frac{(1+\frac bx)^c-1}{\frac bx}

高阶导数

n阶导数

  • 定义
    • n阶导数定义：一阶导数的导数叫做二阶导数，以此类推，(n−1)阶导数的导数叫做n阶导数一阶导数的导数叫做二阶导数，以此类推，(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数
    • n阶可导定义：函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)为n阶可导函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)为n阶可导
    • 高阶导数定义：二阶及二阶以上的导数统称高阶导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数

题型（自增）

求n阶导数

  • 莱布尼兹（Leibniz）公式（第二条才是）
    • 幂函数xμx^\mu的n阶导数：(xμ)(n)=μ(μ−1)(μ−2)⋯(μ−n−1)xμ−n特别的，当μ=n时，(xn)(n)=n!(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n-1)x^{\mu-n}\\ 特别的，当\mu=n时，(x^n)^{(n)}=n!
    • u(x)⋅v(x)u(x)\cdot v(x)的n阶导数：(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)=n(n−1)⋯(n−k−1)k!u(n−k)v(k)⋯uv(n)（用数学归纳法列出式子，再用二项式定理展开(u+v)n化简定理）(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k-1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}\cdots uv(n)\\ （用数学归纳法列出式子，再用二项式定理展开(u+v)^n化简定理）

非显函数求导（隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率）

隐函数

  • 定义

    • 显函数：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子
    • 隐函数：不符合显函数规律的，用方程表示的函数
    • 隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数

  • 隐函数求导方法

    • 把方程两边分别对x求导数

    • 注意：y看作x的复合函数，通常f(y)′的结果为g(y,y′)y′=y′，x′=1，0′=0y看作x的复合函数，通常f(y)'的结果为g(y,y')\\ y'=y'，x'=1，0'=0

    • 其实和先函数没有本质区别，都是一样的

      把y看成:v(x)=y←x，其中v′=y′把x看成:u(x)=x，其中u′=1 (xy)′=(uv)′=uv′+u′v=xy′+y(ln⁡y)′=(ln⁡v)′=1vv′=1yy′ \begin{aligned} &把y看成: v(x)=y\leftarrow x，其中v'=y'\\ &把x看成: u(x)=x，其中u'=1\\~\\ &(xy)'=(uv)'=uv'+u'v=xy'+y\\ &(\ln y)'=(\ln v)'=\frac1vv'=\frac1yy' \end{aligned}

  • 【技巧】对数求导法

    • 方法：先在y=f(x)y=f(x)两边取对数，然后再求出y的导数（其实感觉直接对数指数更快）
    • 举例：y=xsin⁡x⇒ln⁡y=sin⁡x⋅ln⁡x⇒1yy′=cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx⇒y′=y(cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx)⇒xsin⁡x(cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx)y=x^{\sin x}\Rightarrow \ln y=\sin x\cdot \ln x\\ \Rightarrow\frac1yy'=\cos x\cdot \ln x+\frac {\sin x}x\\ \Rightarrow y'=y(\cos x\cdot \ln x+\frac {\sin x}x)\Rightarrow x^{\sin x}(\cos x\cdot \ln x+\frac {\sin x}x)

由参数方程所确定的函数的导数

  • 参数方程求导方法

    • dydx= dydt dxdt \frac{dy}{dx}=\frac {~\frac{dy}{dt}~} {\frac{dx}{dt}}

相关变化率（没用）

  • 定义
    • 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率dydt与dydt间也存在一定关系这两种相互依赖的变化率称为相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率\frac{dy}{dt}与\frac{dy}{dt}间也存在一定关系\\ 这两种相互依赖的变化率称为相关变化率

题型（自增）

  • 隐函数求导
  • 显函数使用隐函数技巧求导
  • 易错：f(x)g(x)不是复合函数！！！f(x)^{g(x)}不是复合函数！！！
    • xx 或 f(x)g(x)，指对法可得例1：y′=(exln⁡x)′=xx(ln⁡x+1)例2：(xsin⁡x)′=(esin⁡xln⁡x)′=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)易错：这不是复合函数，如例2拆解成：y←u=xa，u←x=sin⁡x时，          y←u的变量不是u而是x，而且a不是ux^x~或~f(x)^{g(x)}，指对法可得\\ 例1：y'=(e^{x\ln x})'=x^x(\ln x+1)\\ 例2：(x^{\sin x})'=(e^{\sin x\ln x})'=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}x)\\ 易错：这不是复合函数，如例2拆解成：y\leftarrow u=x^a，u\leftarrow x=\sin x时，\\ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ y\leftarrow u的变量不是u而是x，而且a不是u

函数的微分

微分的定义与几何意义

  • 定义（定义中的Δx\Delta x都可以换成dxdx，只不过书上写微分定义时还没定义dxdx，所以定义中才用Δx\Delta x）

    • 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A不是依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分设函数y=f(x)在某区间内有定义，x_0及x_0+\Delta x在这区间内，\\ 如果函数的增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，其中A不是依赖于\Delta x的常数，\\ 那么称函数y=f(x)在点x_0是可微的，而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分
    • 记作：dy 或 df(x)dy~或~df(x)
    • 计算：dy=AΔx=f(x0)′Δx=y′∣x=x0Δx或 dy∣x=2Δx=0.02（Δx=0.02时的微分）dy=A\Delta x=f(x_0)'\Delta x=y'|_{x=x_0}\Delta x\\ 或~dy|_{x=2\\\Delta x=0.02}（\Delta x=0.02时的微分）
    • 简化定义：很小的区域内可看作是直线

  • 概念

    • 可微、微分
    • 主部、线性主部
    • 函数的微分（dydy）、自变量的微分（dx=Δxdx=\Delta x）、微商（dydx=y′\frac{dy}{dx}=y'、导数）

  • 性质（一元函数时）

    • f(x)在点x0可微⇔f(x)在点x0可导，且微分为dy=f′(x0)Δxf(x)在点x_0可微\Leftrightarrow f(x)在点x_0可导，且微分为dy=f'(x_0)\Delta x

  • 几何意义

    • 局部时，∣Δy−dy∣比∣Δx∣小得多，所以能用线段近似代替局部时，|\Delta y-dy|比|\Delta x|小得多，所以能用线段近似代替
    • 数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

微分公式（同导数公式）

微分表达式：dy=f′(x)dxdy=f'(x)dx

  • 导数公式：f′(x)=g(x)f'(x)=g(x)
  • 微分公式：df(x)=g(x)dxdf(x)=g(x)dx

微分法则（同导数法则）

  • 微分法则【和差积商】：导数法则的基础上，u′→du，v′→dv即可（等式两边都是导数式的前提下，相当于两边同乘以dx）导数法则的基础上，u'\rightarrow du，v'\rightarrow dv即可\\ （等式两边都是导数式的前提下，相当于两边同乘以dx）
  • 微分法则【复合函数】：∵f′(x)=f′(u)⋅g′(x)∴dy=f′(u)du（微分形式不变性）\because f'(x)=f'(u)\cdot g'(x)\\ \therefore dy=f'(u)du（微分形式不变性）

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

  • 工程常用近似公式（都是前面提到过的等价无穷小）
    • (1+x)α∼1+αx    (α∈R)(1+x)^\alpha\sim1+\alpha x~~ ~~(\alpha \in R)
    • sin⁡x∼x    （x用弧度制）\sin x\sim x~~ ~~（x用弧度制）
    • tan⁡x∼x    （x用弧度制）\tan x\sim x~~ ~~（x用弧度制）
    • ex∼1+xe^x\sim 1+x
    • ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim x

误差估计

  • 概念
    • 间接测量误差
    • 绝对误差：∣A−a∣|A-a|
    • 相对误差：∣A−a∣∣a∣\frac{|A-a|}{|a|}
    • 绝对误差限（简称绝对误差）：∣A−a∣≤δA=测量A的绝对误差限|A-a|\leq\delta_A=测量A的绝对误差限
    • 相对误差限（简称相对误差）：δA∣a∣=测量A的相对误差限\frac{\delta_A}{|a|}=测量A的相对误差限

总结（自增）

总结（自增）

定理总结（课本）

基本求导法则与导数公式（要背）

导数公式

  • 导数公式【1】常量 / 幂函数类

    • (C)′=0(C)'=0
    • (xμ)′=μxμ−1(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}

  • 导数公式【2】三角与反三角类

    • \begin{align} (\sin x)'&=\cos x& (\cos x)'&={\color{red}-}\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2 x& (\cot x)'&={\color{red}-}\csc^2 x\\ (\sec x)'&=\sec x\tan x& (\csc x)'&={\color{red}-}\csc x\cot x\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}}& (\arccos x)'&={\color{red}-}\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2}& (arccot~x)'&={\color{red}-}\frac1{1+x^2}'\\ (arcsec~x)'&=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}&(arccsc~x)'&={\color{red}-}\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{align}

  • 导数公式【3】对数指数类

    • \begin{align} &（1）(a^x)'=a^x\ln a（a>0,a\neq1） &&（2）(e^x)'=e^x\\ &（3）(log_ax)'=\frac1{x\ln a}（a>0,a\neq1) &&（4）(\ln x)'=\frac1x \end{align}

求导法则（精简版）

  • 求导法则【定理1简写】和差积商：\begin{align} &（1）(u\pm v)'=u'\pm v' &&（2）(Cu)'=Cu'（C是常数）\\ &（3）(uv)'=u'v+uv' &&（4）(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}（v\neq0） \end{align}
  • 求导法则【定理2】反函数：[f−1(x)]′=1f′(y)  或  dydx=1dxdy[f^{-1}(x)]'=\frac 1{f'(y)}~~或~~\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
  • 求导法则【定理3】复合函数：f′(x)=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudxf'(x)=f'(u)\cdot g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

三角函数导数记法（六边形记法）

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非显函数求导

  • 隐函数求导方法

    • 把方程两边分别对x求导数
    • 注意：y看作x的复合函数，通常f(y)′的结果为g(y,y′)y′=y′，x′=1，0′=0y看作x的复合函数，通常f(y)'的结果为g(y,y')\\ y'=y'，x'=1，0'=0

  • 参数方程求导方法

    • dydx= dydt dxdt \frac{dy}{dx}=\frac {~\frac{dy}{dt}~} {\frac{dx}{dt}}

对比总结（自增）

可微、可导、连续、严格连续

两者的定义区别（仅比较定义表述）

  • 一致连续性定义

    • 定义表述：（“ε−δ”语言）（“\varepsilon-\delta”语言）

      f(x)一致连续⇔∀ε>0，∃δ>0，当∣x1−x2∣<δ时，有∣f(x1)−f(x2)∣<ε f(x)一致连续\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0，\exist\delta>0，当|x_1-x_2|<\delta时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon

  • 连续性定义

    • 定义表述：（“ε−δ”语言）（“\varepsilon-\delta”语言）

      f(x)在点x0连续⇔∀ε>0，∃δ>0，当∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)−f(x0)∣<ε f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0，\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

连续性和一致连续性的区别

  • 在闭区间没有区别：根据定理4（一致连续性定理），闭区间连续则为一致连续
  • 在开区间时有区别：（图像区别比较好理解）
    • 范围不同：一致连续是整体性质，连续是点的局部性质，从定义可见得
    • 包含关系：一致连续⊂连续⇐可导一致连续\sub 连续\Leftarrow可导
    • 图像区别：一致连续的函数图像不存在上升或下降坡度无限变陡的情况，连续却可以
    • 反例（函数连续但不一致连续）：如：y=1xy=\frac1x、y=x2（x∈[0,∞]）y=x^2（x\in[0,\infty]）等等

导数、微分

多元才有区别

可导可微

  • 一元函数没有区别：
  • 多元函数时有区别：

结论口诀

  • 可导⇒连续⇏可导可导\Rightarrow 连续\not\Rightarrow 可导
  • 一致连续⊂连续，闭区间内：一致连续=连续一致连续\sub 连续，闭区间内：一致连续=连续