$《高等数学》

目录

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微积方程（积分解微分方程）

注1：名字（微分方程 > 微积方程）

原章为微分方程，但事实上方程的两边不一定是微分

起始方程或微分方程解的过程中，方程两边几乎都会出现积分符号，而非只有微分（但主要用的是不定积分而不用定积分）

所以我这里改名为微分积分方程，简称微积方程，以体现这章是微分和积分的混合应用

注2：微分写法

在微分方程中，微分的写法往往比导数的写法更好用，不写$y'$写$\frac{dy}{dx}$

比如：

• 经常会交换$dx$、$dy$（分离变量时）
• 高阶函数便于写清是谁导谁
• 便于两端同时积分，变为积分方程的形式

微分方程的基本概念

• 概念
  • 【微分方程】：表示未知函数、未知函数导数、自变量之间的关系的方程，$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$
  • 【微分方程的阶】：微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
  • 【微分方程的通解】：微分方程的解中含有任意常数，且其个数与微分方程的阶数相同（原因：每积分一次会有一个常数C出来）
  • 【微分方程的特解】：确定通解中的任意常数（使用初值条件能求出常数）
  • 【微分方程的积分曲线】：微分方程的解的图形，是一条曲线

可分离变量的微分方程

• 定义

  • 一般的一阶微分方程：$y'=f(x,y)$，有时也写成对称形式：$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$（$\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$）
  • 可分离变量微分方程：如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

• 概念

  • 隐式解：用隐式给出方程的解，$即G(y)=F(x)+C$，$而非y=F(x)+C$
  • 隐式通解：含有任意常量的隐式解

齐次方程

齐次方程

• 齐次方程：如果一阶微分方程可化成$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac yx)$的形式，那么就称这方程为齐次方程

可化为齐次的方程（技巧）

• $\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\\ 当c=c_1=0时是齐次，否则不是齐次的\\ 当不是齐次时，可以使用变换 \left\{\begin{aligned} x=X+h\\ y=Y+k \end{aligned}\right. ，使方程组\left\{\begin{aligned} a_1h+b_1k+c_1=0\\ a_2h+b_2k+c_2=0 \end{aligned}\right.\\ 那么方程组可化为齐次方程\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}$

一阶线性微分方程

线性微分方程（不等同线性方程）

概念

• 一阶非齐次线性微分方程
  • $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，（$y、y'$都是一次的方程，而不是说图像是线性的。而线性方程是未知数都是一次的方程，图像是线性的）
• 一阶 齐次 线性微分方程
  • 当$Q(x)\equiv 0$时，为齐次线性方程

求法（较繁琐）

• 一阶 齐次 线性微分方程求法
  • 先分离变量，得$\frac{dy}y=-P(x)dx$
  • 再两端积分，得通解$y=Ce^{-\int P(x)dx}$
• 一阶非齐次线性微分方程求法
  • 用常数变易法求，即把齐次通解中的$C$换成$x$的未知函数$u(x)$，得$y=ue^{-\int P(x)dx}$
  • 用上式求$\frac{dy}{dx}$，再代$y$和$\frac{dy}{dx}$回原式，得通解

伯努利方程

• 定义
  • $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n~~~~~~（n\neq0，1）$
  • 当$n=0,1$时，是齐次线性微分方程
• 可化为线性方程
  • 伯努利方程是非线性的，但通过变换类的代换，可以把它化为线性
  • 过程：较复杂、略

可降阶的高阶微分方程

思路：通过代换把高阶微分方程化成低阶方程来求解

下面介绍三种容易降价的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$型的微分方程

方法：两边同积分即可降一阶，$\int\frac{d^ny}{dx^n}dx=y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C$

$y''=f(x,y')$型的微分方程

即$F(x,y,y',y'')=0$中没了变量$y$

方法：设$y'=p$，则$y''=p'=f(x,y)$。算完后还原回来又得到一个一阶微分方程。即要算两次一阶微分方程

原理（核心思想）：映射关系，$y''\rightarrow p'\\y'\rightarrow p\\x~\rightarrow x$

$y''=f(y,y')$型的微分方程

即$F(x,y,y',y'')=0$中没了变量$x$

方法：设$y'=p$，这里有两种转化方法（用哪种理解都行）

• $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p=f(y,p)$
• $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{\frac1{y'}dy}=\frac{dp}{dy}p=f(y,p)$

高阶线性微分方程

二阶线性微分方程举例（应用）

• 有阻尼情况下的物体自由振动的微分方程
• 强迫振动的微分方程
• 串联电路的振荡方程

线性微分方程的解的结构

讨论二阶齐次线性方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$

概念

• 二阶线性微分方程：像这样的$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$

• 齐次的：等式右端$f(x)\equiv0$

• 线性相关：设$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$为定义在区间$I$上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得当$x\in I$时有恒等式$k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n\equiv0$成立，那么就称这n个函数在区间$I$上线性相关

  例如$1、cos^2、sin^2$线性相关（$1-cos^2-sin^2=0$）

• 线性无关：否则称线性无关

  例如$1,x,x^2$线性无关

• 判断是否线性相关：当函数只有两个时，只需判断它们的比是否为常数

定理

• 【定理1】：$如果y_1(x)与y_2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个特解，~~~~~~~~~~~~~那么y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)也是其特解$

• 【定理2】：$如果y_1(x)与y_2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关特解，那么y=C_1y_1(x)+C_1y_2(x)就是方程的通解$

• 【定理2推论】：$如果y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)是n阶齐次线性方程\\ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0\\ 的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为\\ y=C_1y1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$

• 【定理3】：$设y^*(x)是二阶非齐次线性方程\\ y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解\\ Y(x)是与之对应的齐次方程的通解，则\\ y=Y(x)+y^*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解$

  （可推广到n阶，略）

• 【定理4】解的叠加原理：$设非齐次线性方程的右端f(x)是两个函数之和，即\\ y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\\ 而y_1^*(x)与y_2^*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)的特解，\\ 则y_1^*(x)+y_2^*(x)就是原方程的特解$

  （可推广到n阶，略）

常数变易法

很麻烦，应该不考。方法比一阶非齐次线性方程的解法（常数变易法）更复杂：需要多变易一个常数，多处理一个未知函数，需要一些新手段

• (1) 先拿到齐次方程的通解，$Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$常数变易为$y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2$

  第一步一样的

• (2) 后面省略，超麻烦，详细见教材P335

常系数齐次线性微分方程

• 定义

  • 二阶常系数齐次线性微分方程：$P(x)$、$Q(x)$位置均全为常数，即$y''+py'+qy=0$
  • 二阶变系数齐次线性微分方程：$P(x)$、$Q(x)$位置不全为常数

• 求解方法与思路，特征方程法的由来

  • (1) 当$r$为常数时，$y=e^{rx}$与它的各阶导数都只相差一个常数因子。因此看能否令$y=e^{rx}$满足常系数齐次线性微分方程
  • (2) $y=e^{rx}、y'=re^{rx}、y''=r^2e^{rx}$代入到$y''+py'+qy=0$得到$(r^2+pr+q)e^rx=0（e^{rx}\neq0）$
  • (3) 其中特征方程为$r^2+pr+q=0$，特征根解：$r_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$
  • (4) 情况判断
    • (1) $当\Delta=p^2-4q>0时，r_1,r_2是两个不相等的实根\\ 能得知两个特解根\\ 微分方程的通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
    • (2) $当\Delta=p^2-4q=0时，r_1,r_2是两个~~~相等的实根\\ 能得知一个特解根，还缺一个y_2，且要求\frac{y_2}{y_1}不是常数。设y_2=e^{r_1x}u(x)代入得u''=0，即可设u=x，y_2为xe^{r_1x}\\ 微分方程的通解为y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
    • (3) $当\Delta=p^2-4q<0时，r_1,r_2是一对~~~~~~共轭复根\\ 需要通过欧拉公式能把结果替换为非复数的版本：y_1=e^{ax}\cos\beta x,y_2=e^{ax}\sin\beta x\\ 微分方程的通解为y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

• 总结

  • 特征方程$r^2+pr+q=0$的两个根	微分方程$y''+py'+qy=0$的通解	解算复杂度
    两个不相等的实根，$r_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}=\frac{-p\pm\sqrt{\Delta}}{2}$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$	简单
    两个 相等的实根，$r_1=r_2=-\frac p2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$ $y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$	多一步，稍麻烦 但套公式简单
    一对 共轭复根，$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i=\frac{-p\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-p\pm i\sqrt{-\Delta}}{2}$	$y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$	稍麻烦

• 补充：化复数特解为实数特解的方法

  • (1) 欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$，$y_{1,2}=e^{(\alpha\pm\beta i)x}=e^{ax}(*/) e^{\beta x i}=e^{ax}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x)$
  • (2) 共轭关系 + 解叠加原理，$y_{3}=\frac12(y_1+y_2)=e^{ax}\cos\beta x，y_4=\frac1{2i}(y_1-y_2)=e^{ax}\sin\beta x$
  • 其中$\alpha=-\frac p2，\beta=\frac{\sqrt{\Delta}}2$

拓展：n阶常系数齐次线性微分方程

• 微分算子表示法：有时用记号D（微分算子）表示对x求导的运算$\frac d{dx}$，比如把$\frac{dy}{dx}$记作$Dy$，把$\frac{d^n y}{dx^2}$记作$D^ny$

• n阶常系数齐次线性微分方程

  • 普通表示：$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+ p_ny=0$
  • 微分算子：$L(D)y=(D^n+p_1D^{n-1}+\cdots+p_n)y=0$
  • 其中$L(D)$为微分算子D的n次多项式​，于是把$y=e^{rx}$代入为：$L(r)e^{rx}=0$，特征方程为$L(r)=0$

• 通解

  • 特征方程的根	根		微分方程通解中的对应项
    单实根	$r$	给出一项	$Ce^{rx}$
    一对单复根	$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	给出两项	$e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
    k重实根	$r$	给出k项	$e^{rx}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
    一对k重复根	$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	给出2k项	$e^{ax}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

常系数非齐次线性微分方程==（未）==

简概

本节只介绍$f(x)$取两种常见形式时求$y^*$的方法

这种方法的特点是不用积分就可求出$y^*$来，它叫做待定系数法

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$型

$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$型

欧拉方程（未）

简概

变系数的线性微分方程比较难解，但有些特殊的变系数微分方程可以通过常量代换化为常系数线性微分方程

例如欧拉方程就是其中的一种

欧拉方程

• 注意：欧拉公式不等于欧拉方程，前者是$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
• 概念：形如$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$
• 解算方法：略（备选章懒得看了）

常系数线性微分方程组解法举例（未）

（这章是应用层面上的一些举例）

微分方程组

常系数线性微分方程组

各种微分方程（自增，捋一下 + 扩展）

表达的写法有点多，这里捋一下

微分方程阶数和概念

阶数	通用写法
n 阶微分方程	$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$
一阶微分方程	$F(x,y,y')=0$
高阶微分方程	$（n\geq2）$
——————	——————
可分离	表示二元、且可分离
线性	表示$y^{(n)}$和$y$的次数都是1，且彼此间不相乘而分别均为单项式的因子
齐次	等式右端恒等于0，即$f(x)$不单独存在
常系数	等号左侧的$P(x)$、$Q(x)$等均为常数

各微分方程的 写法

排列顺序：从特殊到一般

微分方程	导数写法	微分写法	对称写法 / 分离变量
一阶普通导数方程	$y'+P(x)=0$	$\frac{dy}{dx}+P(x)=0$
一阶微分方程 （可分离变量）	$y'=\frac{f(x)}{g(y)}$	$\frac{dy}{dx}=\frac{f(y)}{g(x)}$	$g(y)dy=f(x)dx$
一阶微分方程 （齐次方程）	$y'=\varphi(\frac yx)=\frac{\varphi_1(\frac yx)}{\varphi_2(\frac yx)}$	$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac yx)=\frac{\varphi_1(\frac yx)}{\varphi_2(\frac yx)}$	————
一阶微分方程 （可化为齐次）	$y'=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$等	$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$等	————
一阶线性微分方程 （齐次方程）	$y'+P(x)y=0$	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$	$\frac{dy}y=-P(x)dx$
一阶线性微分方程 （非齐次方程）	$y'+P(x)y=Q(x)$	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	————
一阶微分方程 （通用形式）	$y'=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\xi(x,y)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\xi(x,y)$	$Q(x,y)dy=P(x,y)dx$
伯努利方程 （可化为线性）	$y'+P(x)y=Q(x)y^n\\（n\neq0,1）$	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n（n\neq0,1）$
————————	————————	————————	————————
二级普通导数方程	$y''+P(x)=0$	$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)=0$
二阶微分方程 （可降阶的）	$y''=f(x,y')$	略
二阶微分方程 （可降阶的常系数）	$y''=f(y,y')$	略
二阶常系数线性微分 （齐次方程）	$y''+py'+qy=0$	略
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)型$	略
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x\\+Q_n(x)\sin\omega x]型$	略
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$y''+py'+qy=f(x)$ 一般型	略
二阶线性微分方程 （齐次方程）	$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$	略
二阶线性微分方程 （非齐次方程）	$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$	略
————————	————————	————————	————————
高阶微分方程 （可降阶的）	$y^{(n)}=f(x)$	略
n阶常系数线性微分 （齐次方程）	$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots\\+ p_ny=0$	略
n阶变系数线性微分 （欧拉方程）	$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots\\+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$	略
n阶线性微分方程	$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots\\+ a_n(x)y=f(x)$	略

各微分方程的 求解方法

排列顺序：从特殊到一般，从易解到困难

微分方程	微分写法	求解方法	通解形式
一阶普通导数方程	$\frac{dy}{dx}+P(x)=0$	导数分离移项 + 同时积分（简单）	$y=F(x)+C$
一阶微分方程 （可分离变量）	$\frac{dy}{dx}=\frac{f(y)}{g(x)}$	分离变量移项 + 同时积分（简单）	$G(y)=F(x)+C$
一阶微分方程 （齐次方程）	$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac yx)=\frac{\varphi_1(\frac yx)}{\varphi_2(\frac yx)}$	中间函数$u(x)=\frac yx$ （转化为可分离变量方程）（稍麻烦）	$y=Ce^{\frac yx}$？？？
一阶微分方程 （可化为齐次）	$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$等	中间变量$x=X+h,y=Y+k$ （转化为齐次方程）（稍稍麻烦）	（同上）
一阶线性微分方程 （齐次必可分离）	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$	分离变量移项 + 同时积分（简单） 或，套公式（简单）	$\ln
一阶线性微分方程 （非齐次方程）	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	齐次结果 + 常数变易法 + 求导 + 代回 或，套公式（都很麻烦） 或，求导公式法（推荐，较舒服）	$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$ 或，写成和的形式
一阶微分方程 （通用形式）	$\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\xi(x,y)$	无	无
伯努利方程 （可化为线性）	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n\\（n\neq0,1）$	两端除以$y^n$再代换$z=y^{1-n}$ 可转换为线性方程（较麻烦）	无
————————	————————	————————	————————
二级普通导数方程	$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)=0$	导数分离移项 + 同时积分（简单）	$y=C_1f(x)+C_2g(x)$
二阶微分方程 （可降阶的）	$y''=f(x,y')$，即少了$y$	$y''\rightarrow p'，y'\rightarrow p，x~\rightarrow x$ 变去变回后各算一次一阶（简单）	$y=\int\varphi(x,C_1)dx+C_2$
二阶微分方程 （可降阶的常系数）	$y''=f(y,y')$，即少了$x$	$y''\rightarrow y'\frac{dy'}{dy}$ 算两次一阶（简单）	$\int\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2$
二阶常系数线性微分 （齐次方程）	$y''+py'+qy=0$	特征方程法（看情况，简单/简单/难） 或，套公式（麻烦）	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ 或，$y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$ 或，$y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)型$
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x\\+Q_n(x)\sin\omega x]型$
二阶常系数线性微分 （非齐次方程）	$y''+py'+qy=f(x)$ 一般型	无	无
二阶线性微分方程 （齐次方程）	$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$	特解求法：两个线性无关特解套公式 （简单）	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$
二阶线性微分方程 （非齐次方程）	$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$	特解求法：齐次通解 加 非齐次特解 齐次结果 + 常数变易法 + 求导 + 代回 （特解法稍麻烦，而变易法很麻烦）	$y=Y(x)+y^*(x)$
————————	————————	————————	————————
高阶微分方程 （可降阶的）	$y^{(n)}=f(x)$	正常两端积分多次即可（简单）	无
n阶常系数线性微分 （齐次方程）	$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots\\+ p_ny=0$	特征方程法（看情况，简单/简单/难） 或，套公式（麻烦）	略
n阶变系数线性微分 （欧拉方程）	$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots\\+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$	常量代换化为常系数线性微分方程
n阶线性微分方程	$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots\\+ a_n(x)y=f(x)$	无	无

补充

• 分离变量方法，可以直接两端加不定积分号的原因：

  $\begin{aligned} g(y)dy&=f(x)dx，设y=\varphi(x)\\ g(\varphi(x))\varphi'(x)dx&=f(x)dx\\ \int g(y)dy&=\int f(x)dx \end{aligned}$

• 齐次微分方程，齐次方程中用中间函数$u(x)$替换$\frac yx$而非用中间变量

  $\frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=\frac{udx+xdu}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\neq u$

• 非齐次线性微分方程，常数变易法详解

  就是把常数变成$f(x)$的操作，从而从特殊到一般

  该技巧并不是一定可行，只是在这里求齐次线性方程时恰好可行（是一种求解技巧）

  书上并没有写真正意义上的求解方法，想必非常麻烦

  补充说明： $e^{\int P(x)dx}$亦称作积分因子

• 注意项：求伯努利方程时，$\frac{dy^{1-n}}{dx}$不是$\frac{dy^{1-n}}{dy}$，要用分部积分法来算

新方法，求导公式法（推荐）

• 简概

  • 网上找的一阶线性微分方程的新方法，参考文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/98677671

  • 这个方法不需要算两次（常数变易法），不需要前提需要齐次版本的通解做跳板，所以速度更快，步骤更优雅！！！

    （除非题目已经给了或第一问让你算了齐次版本的通解，那样的话速度应该是差不多的）

  • 原理是因为$y'+P(x)y=Q(x)$里既有$y$又有$y'$，所以可以利用$y'b+yb'=(yb)'$来类比

• 原理

  • (1) 类比

    • $y'b+P(x)by=Q(x)b$
    • $y'b+b'y=(by)'=Q(x)b$

    而$by=\int Q(x)b~dx+C$为结果，即求得b即可得到答案

  • (2) 要令左右两端分别相等。其中$b'=bP(x)$、所以$b=e^{\int Pdx}$

  • (3) 代回原式$(ye^{\int Pdx})'=Qe^{\int Pdx}$再积分，或直接代入结果公式得：$y=b^{-1}[\int Q(x)b~dx]+C$

• 实战写法1（类比构造）

  • (1) $\because y'b+P(x)by=Q(x)b\\=y'b+~~~~~~~b'y=(yb)'~~，易得b=e^{\int P(x)dx}$
  • (2)$\therefore by=\int Q(x)b~dx+C$

• 实战写法2（积分分子法）

  • (1)$因为积分分子=e^{\int P(x)dx}$，在等式两端同乘以积分分子

• 拓展，我觉得二阶常系数线性微分方程也能用这个方法。。。好像不行

  • (1) $\because y''b+py'+qy=0$，$b=e^{rx}$

题型

解微分方程

• 验证函数是微分方程的解：从解开始求导会快点
• 非齐次线性微分方程：常数变易法