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《高等数学》

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《高等数学》

目录

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不定积分

不定积分的概念与性质

不定积分

  • 定义
    • 定义1:如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一x\in I,都有\\ F'(x)=f(x)~或~dF(x)=f(x)dx,\\ 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数
    • 定义2:在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作f(x)dx其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,\\ 记作\int f(x)dx\\ 其中记号\int 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量
    • 即是:~\\\begin{align} [F(x)+C~]'&=f(x)&&(导数形式)\\ d[F(x)+C~]~&=f(x)dx&&(微分形式)\\ F(x)+C~~~&=\int f(x)dx&&(积分形式) \end{align}
  • 概念
    • 积分曲线(原函数曲线)
  • 定理
    • 【原函数存在定理】:如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F(x)=f(x)简单来说就是:连续函数一定有原函数如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x\in I都有F'(x)=f(x)\\ 简单来说就是:连续函数一定有原函数

求积分

基本积分表(导数表的反操作,要背)

  • 积分表【1】常量 / 幂函数类

    • kdx=kx+Ck是常数)\int kdx=kx+C(k是常数)
    • xμdx=xμ+1μ+1+Cμ1\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C(\mu\neq-1)
  • 积分表【2】三角与反三角类(右下角三条不用记,可以用左下角三条代替)

    • \begin{align} \int\cos xdx&=\sin x+C&\int\sin xdx&={\color{red}-}\cos x+C\\ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2xdx&=\tan x+C&\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2xdx&={\color{red}-}\cot x+C\\ \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C&\int\csc x\cot xdx&={\color{red}-}\csc x+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C&\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&={\color{red}-}\arccos x+C{\color{blue}(不记)}\\ \int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C&\int\frac{dx}{1+x^2}&={\color{red}-}arccot x+C{\color{blue}(不记)}\\ \int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&=arcsec x+C&\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&={\color{red}-}arccsc x+C{\color{blue}(不记)} \end{align}
  • 积分表【3】对数指数类

    • \begin{align} \int e^xdx&=e^x+C&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int\frac{dx}{x}&=\ln{\color{red}|x|}+C{\color{blue}(注意绝对值)} \end{align}

扩展积分表

  • 扩展积分表【1】三角函数类

    • tanxdx=lncosx+Ccotxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscxcotx+C\begin{aligned} \int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C&\int\cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\ \int\sec xdx&=\ln|\sec x+\tan x|+C&\int\csc xdx&=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}
  • 扩展积分表【2】倒数类(可配合有理分式使用)

    • dxa2+x2=1aarctanxa+Cdxx2a2=12alnxax+a+Cdxa2x2=arcsinxa+Cdxx2+a2=ln(x+x2+a2)+Cdxx2a2=lnx+x2a2+C\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C&\int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}
  • 扩展积分表【3】双曲函数类

    • sh xdx=ch x+Cch xdx=sh x+C\begin{aligned} \int sh~xdx&=ch~x+C&\int ch~xdx&=sh~x+C \end{aligned}
  • 其中扩展积分表的部分证明1

    • cscxdx=dxsinx=dx2sinx2cosx2=dx2tanx2cos2x2=dtanx2tanx2=lntanx2+C=lncscxcotx+C \begin{aligned} \int\csc xdx&=\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{d\frac{x}2}{\sin\frac x2\cos\frac x2}\\ &=\int\frac{d\frac x2}{\tan \frac x2\cos^2 \frac x2}=\int\frac{d\tan \frac x2}{\tan \frac x2}\\ &=\ln|\tan\frac x2|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

    • secxdx=csc(x+π2)d(x+π2)=lncsc(x+π2)cot(x+π2)+C=lnsecx+tanx+C \begin{aligned} \int \sec xdx&=\int\csc(x+\frac \pi 2)d(x+\frac \pi 2)\\ &=\ln|\csc(x+\frac\pi2)-\cot(x+\frac\pi2)|+C\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明2

    • dxa2+x2=1adxa1+(xa)2=1aarctanxa+C本质是dx1+x2=arctanx+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\int\frac{d\frac xa}{1+(\frac xa)^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C的扩展 \end{aligned}

    • dxa2x2=dxa1(xa)2=arcsinxa+C本质是dx1x2=arcsinx+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{d\frac xa}{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}=\arcsin\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C的扩展 \end{aligned}

    • 1x2a2=12a(1xa1x+a)dx=12a(lnxalnx+a)+C=12alnxax+a+C \begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}&=\frac1{2a}\int(\frac1{\color{red}x-a}-\frac1{\color{blue}x+a})dx\\ &=\frac1{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C\\ &=\frac1{2a}\ln|\frac{\color{red}x-a}{\color{blue}x+a}|+C \end{aligned}

    • a2x2dx=(令x=asintp201 to p202三题都是替换三角函数的方法=a22arcsinxa+12xa2x2+C \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2}dx&=(令x=a\sin t)p201~to ~p202三题都是替换三角函数的方法\\ &=\frac {a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac12 x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{aligned}

    • dxx2+a2=(令x=atant=ln(x+x2+a2)+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=(令x=a\tan t)\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}

    • dxx2a2=(令x=asect=lnx+x2a2+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=(令x=a\sec t)\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

不定积分性质

  • 不定积分性质【和】设函数f(x)g(x)的原函数存在,则[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则\\ \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx

  • 不定积分性质【常数积】设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则kf(x)dx=kf(x)dx设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx

换元积分法和分部积分法(不定积分)

(利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分非常有限。所以利用求导法则进行推演)

(利用复合函数求导推演的为:换元积分法,简称换元法。利用函数乘积求导推演的为:分部积分法)

  • 第一类换元法【复合函数】f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式[f(u)du]u=φ(x)=f[φ(x)]φ(x)dx设f(u)具有原函数,u=\varphi(x)可导,则有换元公式\\ [\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx

    (不记:本质是符号变法d[F(x)+C]=f(x)dx,比如:φ(x)dx=dud[F(x)+C]=f(x)dx,比如:\varphi'(x)dx=du

    (一般是设u=f(x)u=f(x)

  • 第二类换元法【参数函数】x=ψ(t)是单调的可导函数,并且ψ(t)0,又设f[ψ(t)]ψ(t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx=[f[ψ(t)]ψ(t)dt]t=ψ1(x)其中ψ1(x)x=ψ(t)的反函数设x=\psi(t)是单调的可导函数,并且\psi'(t)\neq0,又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数,则有换元公式\\ \int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\\ 其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数

    (同第一类换元法)

    (一般是令x=f(t)x=f(t)

  • 分部积分公式uvdx=uvvudx,其中(uv)=uv+uvudv=uvvdu\int uv'dx=uv-\int vu'dx,其中(uv)'=u'v+uv'\\ \int udv=uv-\int vdu

    (使用注意:vdu\int vdu要更易积出、vv要容易求得)

积分法总结(自增)

  • 符号变法(也对应换元法)\\ \begin{align} [F(x)+C~]'&=f(x)&&(导数形式)\\ d[F(x)+C~]~&=f(x)dx&&(微分形式)\\ F(x)+C~~~&=\int f(x)dx&&(积分形式) \end{align}
  • dx 变化(对应换元积分法和分部积分法)(对应换元积分法和分部积分法)

有理函数的积分(技巧章)

  • 定义
    • 两个多项式的商P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}称为有理函数,又称有理分式
  • 概念
    • 真分式(分子次数小于分母)、假分式(分子次数不小于分母)
    • 真分式化为部分分式之和
  • 章节
    • 有理函数的积分
    • 可化为有理函数的积分举例

积分表的使用

(书本末附表4有积分表,以供查阅)

(其中积分表还有递推公式)

总结(自增)

总结(自增)

概念总结

基本积分表(导数表的反操作,要背)

  • 积分表【1】常量 / 幂函数类
    • kdx=kx+Ck是常数)\int kdx=kx+C(k是常数)
    • xμdx=xμ+1μ+1+Cμ1\int x^\mu dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C(\mu\neq-1)
  • 积分表【2】三角与反三角类(右下角三条不用记,可以用左下角三条代替)
    • \begin{align} \int\cos xdx&=\sin x+C&\int\sin xdx&={\color{red}-}\cos x+C\\ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2xdx&=\tan x+C&\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2xdx&={\color{red}-}\cot x+C\\ \int\sec x\tan xdx&=\sec x+C&\int\csc x\cot xdx&={\color{red}-}\csc x+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C&\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&={\color{red}-}\arccos x+C{\color{blue}(不记)}\\ \int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C&\int\frac{dx}{1+x^2}&={\color{red}-}arccot x+C{\color{blue}(不记)}\\ \int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&=arcsec x+C&\int\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}&={\color{red}-}arccsc x+C{\color{blue}(不记)} \end{align}
  • 积分表【3】对数指数类
    • \begin{align} \int e^xdx&=e^x+C&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int\frac{dx}{x}&=\ln{\color{red}|x|}+C{\color{blue}(注意绝对值)} \end{align}

扩展积分表

  • 扩展积分表【1】三角函数类

    • tanxdx=lncosx+Ccotxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscxcotx+C\begin{aligned} \int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C&\int\cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\ \int\sec xdx&=\ln|\sec x+\tan x|+C&\int\csc xdx&=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}
  • 扩展积分表【2】倒数类(可配合有理分式使用)

    • dxa2+x2=1aarctanxa+Cdxx2a2=12alnxax+a+Cdxa2x2=arcsinxa+Cdxx2+a2=ln(x+x2+a2)+Cdxx2a2=lnx+x2a2+C\begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C&\int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}
  • 扩展积分表【3】双曲函数类

    • sh xdx=ch x+Cch xdx=sh x+C\begin{aligned} \int sh~xdx&=ch~x+C&\int ch~xdx&=sh~x+C \end{aligned}
  • 其中扩展积分表的部分证明1

    • cscxdx=dxsinx=dx2sinx2cosx2=dx2tanx2cos2x2=dtanx2tanx2=lntanx2+C=lncscxcotx+C \begin{aligned} \int\csc xdx&=\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{d\frac{x}2}{\sin\frac x2\cos\frac x2}\\ &=\int\frac{d\frac x2}{\tan \frac x2\cos^2 \frac x2}=\int\frac{d\tan \frac x2}{\tan \frac x2}\\ &=\ln|\tan\frac x2|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned}

    • secxdx=csc(x+π2)d(x+π2)=lncsc(x+π2)cot(x+π2)+C=lnsecx+tanx+C \begin{aligned} \int \sec xdx&=\int\csc(x+\frac \pi 2)d(x+\frac \pi 2)\\ &=\ln|\csc(x+\frac\pi2)-\cot(x+\frac\pi2)|+C\\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{aligned}

  • 其中扩展积分表的部分证明2

    • dxa2+x2=1adxa1+(xa)2=1aarctanxa+C本质是dx1+x2=arctanx+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{a^2+x^2}&=\frac1a\int\frac{d\frac xa}{1+(\frac xa)^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{1+x^2}&=\arctan x+C的扩展 \end{aligned}

    • dxa2x2=dxa1(xa)2=arcsinxa+C本质是dx1x2=arcsinx+C的扩展 \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{d\frac xa}{\sqrt{1-(\frac xa)^2}}=\arcsin\frac xa+C\\ 本质是\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C的扩展 \end{aligned}

    • 1x2a2=12a(1xa1x+a)dx=12a(lnxalnx+a)+C=12alnxax+a+C \begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}&=\frac1{2a}\int(\frac1{\color{red}x-a}-\frac1{\color{blue}x+a})dx\\ &=\frac1{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C\\ &=\frac1{2a}\ln|\frac{\color{red}x-a}{\color{blue}x+a}|+C \end{aligned}

    • a2x2dx=(令x=asintp201 to p202三题都是替换三角函数的方法=a22arcsinxa+12xa2x2+C \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2}dx&=(令x=a\sin t)p201~to ~p202三题都是替换三角函数的方法\\ &=\frac {a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac12 x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{aligned}

    • dxx2+a2=(令x=atant=ln(x+x2+a2)+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=(令x=a\tan t)\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}

    • dxx2a2=(令x=asect=lnx+x2a2+C \begin{aligned} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=(令x=a\sec t)\\ &=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \end{aligned}

不定积分性质

  • 不定积分性质【和】设函数f(x)g(x)的原函数存在,则[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则\\ \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx

  • 不定积分性质【常数积】设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则kf(x)dx=kf(x)dx设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx

换元积分法和分部积分法(不定积分)

  • 第一类换元法【复合函数】f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式[f(u)du]u=φ(x)=f[φ(x)]φ(x)dx设f(u)具有原函数,u=\varphi(x)可导,则有换元公式\\ [\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx

    (不记:本质是符号变法d[F(x)+C]=f(x)dx,比如:φ(x)dx=dud[F(x)+C]=f(x)dx,比如:\varphi'(x)dx=du

    (一般是设u=f(x)u=f(x)

  • 第二类换元法【参数函数】x=ψ(t)是单调的可导函数,并且ψ(t)0,又设f[ψ(t)]ψ(t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx=[f[ψ(t)]ψ(t)dt]t=ψ1(x)其中ψ1(x)x=ψ(t)的反函数设x=\psi(t)是单调的可导函数,并且\psi'(t)\neq0,又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数,则有换元公式\\ \int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\\ 其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数

    (同第一类换元法)

    (一般是令x=f(t)x=f(t)

  • 分部积分公式uvdx=uvvudx,其中(uv)=uv+uvudv=uvvdu\int uv'dx=uv-\int vu'dx,其中(uv)'=u'v+uv'\\ \int udv=uv-\int vdu

    (使用注意:vdu\int vdu要更易积出、vv要容易求得)

题型(还是挺讲技巧的)

换元积分法技巧

  • 和积变化
    • 技巧
      • dx部分可随意增减常数,结果不变
      • dx部分或积分部分可随意乘除常数,积分部分或整体部分乘除该常数的倒数,则结果不变
  • 幂变化
    • 技巧
      • xax^a,积分部分的幂变小多少次,则dx的幂也变大多少次
    • 通用
      • 幂和不变定律(幂为1时例外)xn+mdx1=1m+1xn(xm+1)dx=1m+1xndx1+mxndx1+m=xn(xm+1)dx=(m+1)xn+mdxxadxb=kxcdxda+b=c+d幂和不变定律(幂为-1时例外)\\ \because\int x^{n+m}dx^1=\frac1{m+1}\int x^n(x^{m+1})'dx=\frac1{m+1}\int x^ndx^{1+m}\\ \because\int x^ndx^{1+m}=\int x^n(x^{m+1})'dx=(m+1)\int x^{n+m}dx\\ \therefore \int x^adx^b=k\int x^cdx^d(a+b=c+d)
    • 举例
      • 幂不变:x2(x+2)3dx=(u2)2u3du=(u14u2+4u3)\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx\\ =\int\frac{(u-2)^2}{u^3}du\\ =\int(u^{-1}-4u^{-2}+4u^{-3})
      • 幂变小一次:2xex2dx=ex2dx2\int 2xe^{x^2}dx\\ =\int e^{x^2}dx^2\\
      • 幂变小一次:x1x2dx=(12)1x2d(1x2)=(12)xdx\int x\sqrt{1-x^2}dx\\ =(-\frac12)\int\sqrt{1-x^2}d(1-x^2)\\ =(-\frac12)\int\sqrt xdx
      • 幂变大1/2:e3xxdx=23e3xd3x\int\frac{e^{3\sqrt x}}{\sqrt x}dx\\ =\frac23\int e^{3\sqrt x}d3\sqrt x

题型——积分题(非常考验对题型的熟练度和敏感度)

  • 积分部分为多项式 - 幂
    • 如上幂变化
  • 三角函数积分题(纯三角函数)(很考验三角函数的性质熟练度)
    • 总技巧:一般情况下都是都x积分,需要考虑把dx换成哪种三角函数,dx可以是sincostansec\sin、\cos、\tan、\sec等的任意一种
      • sin\sincos\cos情况
        • 三角函数的幂数为1
          • 方法:可代扩展积分表。但要证的化一般通过二倍角变换
          • 举例:cscxdx\int \csc xdx
        • 三角函数的幂数为奇数、且数量>2
          • 方法:把其中一个分离到dx后,积分部分的同名幂为偶数,这意味着他们可以变成另一个函数名,最终实现消元
          • 举例:sin3xdx=(1cos2x)dcosxsin2xcos5xdx\int \sin^3xdx=\int(1-\cos^2x)d\cos x、\int\sin^2x \cos^5xdx
        • 三角函数的幂数为偶数、且同名三角函数的幂也为偶数
          • 方法:二倍角变换
          • 举例:cos2xdxsin2xcos4xdx\int \cos^2xdx、\int \sin^2 x\cos^4xdx
      • sec\seccsc\csc情况
        • 三角函数的幂>3
          • 方法:把两个拆出来,分离到dx中
      • tan\tan情况
        • 方法:拆开来看
        • 举例:tanxdx=1cosxd(cosx)\int\tan xdx=\int\frac{1}{\cos x}d(\cos x)
      • 其他情况
        • 方法:万能方法:和差化积
        • 举例:cos3xcos2xdx\int\cos3x\cos 2xdx
    • 成组技巧
      • 有的三角函数组合可看成一个整体,而不能拆开看
        • 如:tan2xcot2xsin2xcos2x1sec21csc21sin21cos2\tan^2x、\cot^2x、\sin^2x、\cos^2 x、1-\sec^2、1-\csc^2、1-\sin^2、1-\cos^2
        • 实战:tan2xdx\int\tan^2xdx,将tan2xsec2x1\tan^2x\rightarrow \sec^2x-1再积分
    • 但也并不是所有情况都要把dx换成三角函数,有的简单的就不用
      • 举例:cos2xdx\int \cos^2xdx

分部积分法技巧与举例

技巧:乘因子性质判别法:

乘因子有两种:一种易于积分和微分,具有滚雪球特性。一种易于求导却难以积分

  • 前者通过换元积分法把自己放到dx部分,然后再对整体使用分部积分法。以对其他乘因子进行求导简化操作
    • 这种乘因子(这里介绍的顺序是带排名的,应优先把前面的换元为微分部分
      • 指数函数exe^x,举例:xexdx=xexexdx\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx
      • 三角函数sincosseccsc\sin、\cos、\sec、\csc,举例:xcosxdx=xsinxsinxdx\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx
      • 幂函数xnx^n
    • 有时可能需要替换多次,然后找规律
      • 举例:exsinxdx=exsinxexcosxdx=exsinxexcosxexsinxdx\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx = e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx
      • 举例:sec3xdx\int \sec^3xdx
  • 后者通过换元积分法把其他乘因子放到dx部分,然后再对整体使用分部积分法。以对这个部分进行求导简化操作
    • 这种乘因子
      • 对数函数lnx\ln x