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《高等数学》

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《高等数学》

目录

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微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

微分中值定理（图像理解，与闭区间连续函数性质（零点定理和介值定理）有异曲同工之妙）

  • 中值定理【费马引理】：
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)      （或f(x)≥f(x0）那么f′(x0)=0设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，并且在x_0处可导，如果对任意的x\in U(x_0)，有\\ f(x)\leq f(x_0)~~ ~~ ~~（或f(x)\geq f(x_0）\\ 那么f'(x_0)=0
  • 中值定理【罗尔定理】：（下位定理，画图理解）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξ（a≤ξ≤b），使得f′(ξ)=0如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a\leq\xi\leq b），使得f'(\xi)=0
  • 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理：（画图理解，高中也可以提前用）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)成立如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使等式\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）或φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）\\ 或\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理：（能用于准确描述Δx\Delta x的增量，后面泰勒展开的拉氏余项会用到）
    • Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx（0<θ<1）（还是当曲线，有限增值公式）     =f′(x)⋅Δx+o(Δx)（微分线段看成直线）\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x（0<\theta<1）（还是当曲线，有限增值公式）\\ ~~ ~~ ~= f'(x)\cdot\Delta x+o(\Delta x)（微分线段看成直线）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 导出】：（不废话吗）
    • 如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零
    • 逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数
  • 中值定理【柯西中值定理】：（不能理解为左式分数上下同除以b−ab-a，因为不能确保右式的ξ\xi是同一值，两端的端点也不同）
    • 如果函数f(x)几F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x∈(a,b)，F′(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立如果函数f(x)几F(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~对任一x\in (a,b)，F'(x)\neq0\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi，使等式\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F(x)，两端相等，符合罗尔定理证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)，两端相等，符合罗尔定理

其他

  • 推导：费马引理⇒罗尔定理⇒拉格朗日中值定理费马引理\Rightarrow 罗尔定理\Rightarrow 拉格朗日中值定理
  • 吐槽：这和微分有什么关系，其他明明是导数中值定理（除了有限增值定理能用于准确描述Δx\Delta x的增量外）

概念

  • 驻点、稳定点、临界点：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）

洛必达法则

（我觉得这章应该在导数一章的求导法则里出现才对）

洛必达法则（高中可学可用，易错注意：结果存在才能用）

  • 洛必达法则【定理1】：设(1) 当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow a时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
  • 洛必达法则【定理2】：设(1) 当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 当∣x∣>N时，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→∞f(x)F(x)=lim⁡x→∞f′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow \infty时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~当|x|>N时，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

泰勒公式

内核思想与概念

内核思想

  • 思想：用多项式来近似表达函数
  • 误差：如ex∼1+x、ln⁡(1+x)∼产生的误差仅是关于x的高阶无穷小n阶等价无穷小的意思就是误差为o(xn)e^x\sim 1+x、\ln(1+x)\sim 产生的误差仅是关于x的高阶无穷小\\ n阶等价无穷小的意思就是误差为o(x^n)
  • 提高精度思路：使用更高层次的多项式来逼近函数
  • 构造多项式思路：设f(x)在x0具有n阶导数，试找出一个关于(x−x0)的n次多项式pn(x)来近似表达f(x)pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n使得∣pn(x)−f(x)∣∼o((x−x0)n)设f(x)在x_0具有n阶导数，试找出一个关于(x-x_0)的n次多项式p_n(x)来近似表达f(x)\\ p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\\ 使得|p_n(x)-f(x)|\sim o((x-x_0)^n)

概念

  • 佩亚诺余项Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x) = o((x-x_0)^n)
  • 拉格朗日余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

泰勒公式定理

  • 泰勒中值定理【佩亚诺余项】：如果函数f(x)在x0处具有(n)阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((x−xo)n)理解原理：右式的k阶导数均=f(k)+o((x−x0)k)，补充：这里的Rn的表达式是佩亚诺余项如果函数f(x)在x_0处具有{\color{red}(n)}阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有\\ f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=o((x-x_o)^n)\\ 理解原理：右式的k阶导数均=f^{(k)}+o((x-x_0)^k)，补充：这里的R_n的表达式是佩亚诺余项
  • 泰勒中值定理【 拉氏余项 】：如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1，（ξ是x0与x之间的某个值）补充：这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项如果函数f(x)在x_0的某个邻域U(x_0)内具有{\color{red}(n+1)}阶导数，那么对任一x\in U(x_0)，有\\f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，（\xi是x_0与x之间的某个值）\\ 补充：这里的R_n(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项
  • 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1)，佩亚诺余项和拉氏余项f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\\ R_n(x)=o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}，佩亚诺余项和拉氏余项

常用麦克劳林展开

x→0时x\rightarrow0时

11−x=1+x+x2+x3+x4+⋯=∑n=0∞xnsin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+x99!−⋯=∑n=1∞(−1)n−1x2n−1(2n−1)!cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+x88!−⋯=∑n=0∞(−1)n    x2n(2n)! \begin{aligned} \frac1{1-x}&=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n~~~~\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}

导数与图像

函数的单调性与凹凸性（导数与曲线性质、导数几何意义）

（我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”）

  • 概念

    • 驻点、稳定点、临界点：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）
    • 拐点（凹凸性改变了的点）

  • 函数判定定理（高中内容，凹凸性定义可用于缩放函数）

    • 单调性导数定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)内f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(2) 如果在(a,b)内f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导\\ (1)~如果在(a,b)内f'(x)\geq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加\\ (2)~如果在(a,b)内f'(x)\leq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
    • 凹凸性定义与性质：设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2，(1) 恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）(2) 恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x_1,x_2，\\ (1)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）\\ (2)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）\\
    • 凹凸性导数定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a,b)内f′′(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的(1) 若在(a,b)内f′′(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

函数的极值与最大值最小值

（我觉得这两章应该在前面导数与微分的高阶导数后——“导数的函数几何意义”）

极值（区域最值）

  • 定义
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0），那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，如果对于去心邻域\overset 0U(x_0)内的任一x，有\\ f(x)<f(x_0)（或f(x)>f(x_0），那么就称f(x_0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）
  • 概念
    • 极值、极值点
    • 目标函数（问题在数学上归结为求某一函数最值的问题）
  • 极值性质（都是废话）
    • 极值定理【必要条件】：函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值⇒f′(x0)=0函数f(x)在x_0处可导，且在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0
    • 极值定理【充分条件】1：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域Uo（x0,δ)内可导(1) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值(2) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值(3) 若x∈U0(x0,δ)时，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值设函数f(x)在x_0处连续，且在x_0的某去心邻域\overset oU（x_0,\delta)内可导\\ (1)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)>0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)<0，则f(x)在x_0处取得极大值\\ (2)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)<0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)>0，则f(x)在x_0处取得极小值\\ (3)~若x\in\overset 0U(x_0,\delta)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在x_0处没有极值\\
    • 极值定理【充分条件】2：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f′(x0)=0，f′′(x0)≠0，则(1) 当f′′(x0)<0时，函数f(x)在x0取得极大值(2) 当f′′(x0)>0时，函数f(x)在x0取得极小值设函数f(x)在x_0处具有二阶导数且f'(x_0)=0，f''(x_0)\neq0，则\\ (1)~当f''(x_0)<0时，函数f(x)在x_0取得极大值\\ (2)~当f''(x_0)>0时，函数f(x)在x_0取得极小值

函数图形的描绘

步骤

  1. 确定特性（定义域、奇偶、周期等），求出一阶导数f′(x)f'(x)和二阶导数f′′(x)f''(x)
  2. 求出一阶导数和二阶导数在定义域内全部零点、f(x)f(x)间断点和f′(x)f'(x)、f′′(x)f''(x)不存在的点，用这些点划分区间
  3. 确定这些区间内f′(x)f'(x)和f′′(x)f''(x)的符号，由此确定函数图形的升降、凹凸、拐点
  4. 确定函数的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
  5. 算出f′(x)f'(x)、f′′(x)f''(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，为了描绘得准确些，有时补充一些点，然后联结这些点画出函数图形

曲率（曲线弯曲程度）

弧微分（曲率的引概念）

  • 定义

    • 弧长：弧长s与x存在函数关系s=s(x)∼x2+y2，而且s(x)是x的单调增加函数弧长s与x存在函数关系s=s(x)\sim \sqrt{x^2+y^2}，而且s(x)是x的单调增加函数

  • 弧导数：s′=s′(x)s'=s'(x)

  • 弧微分公式（仍然是化曲为直思想，化曲为直的误差为o(x^1)）

    • 弧微分公式：ds=1+y′ 2dxds=\sqrt{1+y'~^2}dx

曲率

  • 定义
    • 本质：曲线的弯曲程度
    • 影响因素：与切线旋过的角度和弧段长度有关（与s有关而非x，比如一个半圆弧曲率不变，其旋转时x的范围不同）
    • 曲率：∣Δα∣∣Δs∣\frac{|\Delta \alpha|}{|\Delta s|}
  • 曲率公式（有点难记）
    • 曲率公式：Kˉ=∣ΔαΔs∣K=∣dαds∣=∣y′′∣1+y′23/2→当∣y′∣<<1时K∼∣y′′∣K圆=∣dαds∣=1α\bar{K}=|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}^{3/2}}\xrightarrow {当|y'|<<1时}K\sim |y''|\\ K_圆=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac1\alpha

曲率圆和曲率半径

  • 概念

    • 曲率圆
    • 曲率中心：DD
    • 曲率半径：ρ=1K\rho=\frac{1}{K}，即曲率半径与曲率互为导数
    • 渐屈线：曲率中心轨迹曲线为原曲线的渐屈线
    • 渐伸线：原曲线为曲率中心轨迹曲线的渐伸线

  • 曲率中心公式（有点难记）

    • 曲率中心的计算公式（直接求也行）
      • {α=x−y′(1+y′ 2)y′′β=y+1+y′ 2y′′\left\{\begin{aligned} & \alpha=x-\frac{y'(1+y'~^2)}{y''}\\ & \beta=y+\frac{1+y'~^2}{y''} \end{aligned}\right.

记法

方程的近似解

思路

  • 根的隔离：使所求根是位于隔离区间内的唯一实根
  • 求近似解：这里有三种常用方法，可以在计算机上求近似解

求近似解方法

  • 二分法
    • 优点：简单易用
  • 切线法（图像理解）
    • 限制：需要一阶二阶导数保持定号
    • 优点：比二分法靠近近似解更快（实验次数更少）
  • 割线法（别名：弦截法）（图像理解）
    • 优点：比二分法靠近近似解更快（实验次数更少），不用求导
    • 补充：和切线法差不多，使用切线近似值来代替了求导的过程。不用求导但需要迭代
    • 迭代公式：xn+1=xn−xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)⋅f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\cdot f(x_n)

总结（自增）

总结（自增）

符号总结

英文名

费马（Fermat）、罗尔（Rolle）、拉格朗日（Lagrange）、柯西（Cauchy）、洛必达（L' Hospital）、泰勒（Taylor）、麦克劳林（Maclaurin）

定理总结

微分中值定理（一些性质）

微分中值定理（图像理解，与闭区间连续函数性质（零点定理和介值定理）有异曲同工之妙）

  • 中值定理【费马引理】：
    • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)      （或f(x)≥f(x0）那么f′(x0)=0设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，并且在x_0处可导，如果对任意的x\in U(x_0)，有\\ f(x)\leq f(x_0)~~ ~~ ~~（或f(x)\geq f(x_0）\\ 那么f'(x_0)=0
  • 中值定理【罗尔定理】：（下位定理，画图理解）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点ξ（a≤ξ≤b），使得f′(ξ)=0如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a\leq\xi\leq b），使得f'(\xi)=0
  • 中值定理【拉氏中值定理】又名微分中值定理：（画图理解，高中也可以提前用）
    • 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)成立如果函数f(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi（a<\xi<b），使等式\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）或φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)，两端为0，符合罗尔定理（画图理解）\\ 或\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x)，两端相等，符合罗尔定理（画图理解）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 变形】又名有限增量定理：（能用于准确描述Δx\Delta x的增量，后面泰勒展开的拉氏余项会用到）
    • Δy=f′(x+θΔx)⋅Δx（0<θ<1）（还是当曲线，有限增值公式）     =f′(x)⋅Δx+o(Δx)（微分线段看成直线）\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x（0<\theta<1）（还是当曲线，有限增值公式）\\ ~~ ~~ ~= f'(x)\cdot\Delta x+o(\Delta x)（微分线段看成直线）
  • 中值定理【拉氏中值定理 - 导出】：（不废话吗）
    • 如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零如果函数f(x)在区间I上是一个常数，那么f(x)在区间I上的导数恒为零
    • 逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数逆命题也成立：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数
  • 中值定理【柯西中值定理】：（不能理解为左式分数上下同除以b−ab-a，因为不能确保右式的ξ\xi是同一值，两端的端点也不同）
    • 如果函数f(x)几F(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续(2) 在开区间(a,b)内可导(3) 对任一x∈(a,b)，F′(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立如果函数f(x)几F(x)满足\\ (1)~在闭区间[a,b]上连续\\ (2)~在开区间(a,b)内可导\\ (3)~对任一x\in (a,b)，F'(x)\neq0\\ 那么在(a,b)内至少有一点\xi，使等式\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}成立
    • 证明需引入辅助函数φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F(x)，两端相等，符合罗尔定理证明需引入辅助函数\\ \varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)，两端相等，符合罗尔定理

洛必达法则（求值方法）

洛必达法则（高中可学可用，容错注意：结果存在才能用）

  • 洛必达法则【定理1】：设(1) 当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow a时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
  • 洛必达法则【定理2】：设(1) 当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零(2) 当∣x∣>N时，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大）则lim⁡x→∞f(x)F(x)=lim⁡x→∞f′(x)F′(x)设\\(1)~当x\rightarrow \infty时，函数f(x)及F(x)都趋于零\\ (2)~当|x|>N时，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq0\\ (3)~\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）\\ 则\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}

泰勒公式（构造极限）

泰勒公式定理

  • 泰勒中值定理【佩亚诺余项】：如果函数f(x)在x0处具有(n)阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=o((x−xo)n)理解原理：右式的k阶导数均=f(k)+o((x−x0)k)，补充：这里的Rn的表达式是佩亚诺余项如果函数f(x)在x_0处具有{\color{red}(n)}阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有\\ f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=o((x-x_o)^n)\\ 理解原理：右式的k阶导数均=f^{(k)}+o((x-x_0)^k)，补充：这里的R_n的表达式是佩亚诺余项
  • 泰勒中值定理【 拉氏余项 】：如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)，有f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1，（ξ是x0与x之间的某个值）补充：这里的Rn(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项如果函数f(x)在x_0的某个邻域U(x_0)内具有{\color{red}(n+1)}阶导数，那么对任一x\in U(x_0)，有\\f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，（\xi是x_0与x之间的某个值）\\ 补充：这里的R_n(x)的表达式是有限增值定理（拉格朗日微分中值定理）的运用，也叫拉格朗日余项
  • 泰勒中值定理【特殊情形】麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)Rn(x)=o(xn)=f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1)，佩亚诺余项和拉氏余项f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\\ R_n(x)=o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}，佩亚诺余项和拉氏余项

单调性与凹凸性（导数与曲线性质、导数几何意义）

函数判定定理（高中内容，凹凸性定义可用于缩放函数）

  • 单调性导数定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)内f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(2) 如果在(a,b)内f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导\\ (1)~如果在(a,b)内f'(x)\geq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加\\ (2)~如果在(a,b)内f'(x)\leq0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
  • 凹凸性定义与性质：设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2，(1) 恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）(2) 恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x_1,x_2，\\ (1)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）\\ (2)~恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）\\
  • 凹凸性导数定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a,b)内f′′(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的(1) 若在(a,b)内f′′(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的\\ (1)~若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

极值性质（都是废话）

  • 极值定理【必要条件】：函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值⇒f′(x0)=0函数f(x)在x_0处可导，且在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0
  • 极值定理【充分条件】1：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域Uo（x0,δ)内可导(1) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值(2) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值(3) 若x∈U0(x0,δ)时，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值设函数f(x)在x_0处连续，且在x_0的某去心邻域\overset oU（x_0,\delta)内可导\\ (1)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)>0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)<0，则f(x)在x_0处取得极大值\\ (2)~若x\in(x_0-\delta,x_0)时，f'(x)<0，而x\in (x_0,x_0+\delta)时，f'(x)>0，则f(x)在x_0处取得极小值\\ (3)~若x\in\overset 0U(x_0,\delta)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在x_0处没有极值\\
  • 极值定理【充分条件】2：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f′(x0)=0，f′′(x0)≠0，则(1) 当f′′(x0)<0时，函数f(x)在x0取得极大值(2) 当f′′(x0)>0时，函数f(x)在x0取得极小值设函数f(x)在x_0处具有二阶导数且f'(x_0)=0，f''(x_0)\neq0，则\\ (1)~当f''(x_0)<0时，函数f(x)在x_0取得极大值\\ (2)~当f''(x_0)>0时，函数f(x)在x_0取得极小值

曲率

弧微分公式（仍然是化曲为直思想，化曲为直的误差为o(x^1)）

  • 弧微分公式：ds=1+y′ 2dxds=\sqrt{1+y'~^2}dx

曲率公式（有点难记）

  • 曲率公式：Kˉ=∣ΔαΔs∣K=∣dαds∣=∣y′′∣1+y′23/2→当∣y′∣<<1时K∼∣y′′∣K圆=∣dαds∣=1α\bar{K}=|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}^{3/2}}\xrightarrow {当|y'|<<1时}K\sim |y''|\\ K_圆=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac1\alpha

曲率中心公式（有点难记）

  • 曲率中心的计算公式（直接求也行）
    • {α=x−y′(1+y′ 2)y′′β=y+1+y′ 2y′′\left\{\begin{aligned} & \alpha=x-\frac{y'(1+y'~^2)}{y''}\\ & \beta=y+\frac{1+y'~^2}{y''} \end{aligned}\right.